সম্ভাব্যতার সংরক্ষনশীলতা

একটি স্থিতিশীলস্তরের ওয়েভফাংশনে সময়ের উপর নির্ভর করেনা। অর্থাৎ এক্ষেত্রে ওয়েভফাংশনটি সময় নির্ভর অথবা সময় নিরপেক্ষ যাই হোক, এটির বর্গ করলে পাবে- \[ |\Psi(x, t)|^2 = |\psi(x)|^2 \]

বিবৃতিঃ যদি একটি ওয়েভফাংশন $\Psi(x, t)$ সময়নির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণ মেনে চলে, তাহলে তার সম্ভাব্যতা \begin{equation} P(x, t) = |\Psi(x, t)|^2 \label{eq:probablity1} \end{equation} একটি নিত্যতার সমীকরণ মেনে চলবে- \[ \frac{\partial P}{\partial t} = - \frac{\partial j}{\partial x}, \] যেখানে $j(x, t)$ কে সম্ভাব্য প্রবাহ Probability current বলা হয়, এবং একে প্রকাশ করা যায় - \begin{equation} j(x, t) = -\frac{i\hbar}{2m} \left(\Psi^*\frac{d \Psi}{d x} - \frac{d \Psi^*}{d x} \Psi\right)\label{eq:probablity-current1} \end{equation} যেহেতু $\Psi^*\frac{d \Psi}{d x}$ এবং $\frac{d \Psi^*}{d x} \Psi$ একে অপরের কমপ্লেক্স কনজুগেট, সুতরাং $\Psi^*\frac{d \Psi}{d x} - \frac{d \Psi^*}{d x} \Psi$ টি অবশ্যই একটি কাল্পনিক ফলাফল দিবে। আবার যদি এই ফলাফলটিকে যেকোন কাল্পনিক নম্বর $i$ দিয়ে গুণ করা হয়, তাহলে বীজগণিতের সূত্র অনুসারে ফলাফলটি আবার বাস্তব সংখ্যায় পরিনত হবে। অর্থাৎ $j(x, t)$ হচ্ছে একটি বাস্তব সংখ্যা, তারমানে সম্ভাব্য প্রবাহ $P$ এর মানও বাস্তব সংখ্যাই হবে।

প্রমাণঃ তোমরা জানো সময় নির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণ \[ -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi=i\hbar\dfrac{\partial \psi}{\partial t} \] এর কমপ্লেক্স কনজুগেট \[ -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+V(x)\psi^*=-i\hbar\dfrac{\partial \psi^*}{\partial t} \] এক্ষেত্রে বিভবশক্তি $V$ এর মান বাস্তব। কারণ, বিভবশক্তির মান অবাস্তব হলে সম্ভাব্যতা কোনভাবেই নিত্যতা সুত্রকে মানবেনা। এখন সম্ভাব্যতা $P(x, t)$ কে সময়ের সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েট করলে পাবে-

Click to calculation

সমীকরণ \eqref{eq:probablity1} থেকে মান বসিয়ে- \begin{align*} \dfrac{\partial P(x,t)}{\partial t} &= \dfrac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi)\\ &=\left[\dfrac{\partial \psi^*}{\partial t}\psi-\psi^*\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right] \end{align*} শ্রোডিঙার সমীকরণ থেকে $\dfrac{\partial \psi}{\partial t}$ ও $\dfrac{\partial \psi^*}{\partial t}$ মান বসালে পাবে- \begin{align*} \dfrac{\partial P(x,t)}{\partial t} &=\dfrac{1}{i\hbar}\left[\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\psi-V(x)\psi^*\psi\\ -\dfrac{\hbar^2}{2m}\psi^*\dfrac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\psi+V(x)\psi^*\psi\right]\\ \end{align*} যেহেতু বিভবশক্তির মান বাস্তব, সেহেতু $V(x)\psi^*\psi$ একে অপরের সাথে কাটাকাটি যাবে। অর্থাৎ পাচ্ছো- \begin{align*} \dfrac{\partial P(x,t)}{\partial t} &=\dfrac{1}{i\hbar}\dfrac{\hbar^2}{2m}\left[\dfrac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\psi -\psi^*\dfrac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\psi\right]\\ &=\dfrac{\hbar}{2mi}\dfrac{\partial}{\partial x}\left[\dfrac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi -\psi^*\dfrac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\right] \end{align*}

\begin{align*} \dfrac{\partial P(x,t)}{\partial t}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left[\frac{i\hbar}{2m} \left(\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x} - \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \Psi\right)\right] \end{align*} সমীকরণ \eqref{eq:probablity-current1} এর মান বসিয়ে দিলে পাবে- \[ \frac{\partial P}{\partial t} = - \frac{\partial j}{\partial x}, \] অর্থাৎ এটি উপরের নিত্যতা সমীকরণ মেনে চলছে।

স্থিতিশীল স্তরসমূহ পরের পরিচ্ছেদ