সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ

এই পরিচ্ছেদে তোমরা দেখতে পাবে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ শ্রোডিঙার সমীকরণ কিভাবে আসলো। তোমরা জানো যে, কোন বস্তুর মোটশক্তিকে গতিশক্তি $({\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2)$ আর বিভবশক্তির $(V(\mathbf{r}))$ সমষ্টি হিসাবে লিখা যায়। $$\begin{array}{r}E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+V(\mathbf{r})\end{array}$$ কিন্তু তোমরা জানো যে ভরবেগ $p=mv$, সুতরাং উপরের সমীকরণ থেকে পাবে- $$E={\displaystyle \frac{p^2}{2m}}+V(\mathbf{r})$$ মনেকরো, সময় $t$ পরিবর্তনের সাথে সাথে কণাটি অবস্থান পরিবর্তন করলেও, তার বিভবশক্তির মান অপরিবর্তিত থাকছে। যেহেতু ক্ষুদ্রকণাগুলি একই সাথে কণা ও তরঙ্গের মতো আচরণ করে, এদের একটি ওয়েভফাংশন থাকবে। ধরো ওয়েভফাংশনটি হচ্ছে- $$\psi (\mathbf{r})=e^{i(k\mathbf{r}-\omega t)}$$ তাহলে $t$ কে ধ্রুব ধরে ওয়েভফাংশনটিকে $r$ এর সাপেক্ষে একবার ডিফারেন্সিয়েশন করে পাবে- $$\mathrm{\nabla }\psi (\mathbf{r})={\displaystyle \frac{\partial \psi (\mathbf{r})}{\partial r}}=ik{e}^{i(kr-\omega t)}=ik\psi (\mathbf{r})$$ এখানে $\mathrm{\nabla }={\displaystyle \frac{\partial }{\partial r}}$ এবং ${\mathrm{\nabla }}^2={\displaystyle \frac{{\partial }^2}{\partial r^2}}$ হচ্ছে ল্যাপলাসিয়ান। এবার $\psi (\mathbf{r})$ কে $r$ এর সাপেক্ষে দুইবার ডিফারেন্সিয়েশন করলে পাবে- $${\mathrm{\nabla }}^2\psi (\mathbf{r})={\displaystyle \frac{{\partial }^2\psi (\mathbf{r})}{\partial r^2}}=(ik{)}^2\psi (\mathbf{r})$$ আশা করি তোমাদের মনে আছে যে $p=\hslash k$, তাহলে

Click to calculation

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}^2& =-({\displaystyle \frac{p}{\hslash }}{)}^2\psi (\mathbf{r})\\ \Rightarrow {\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2& =p^2\psi (\mathbf{r})\end{array}$$

$$p^2\psi (\mathbf{r})=-{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2\psi (\mathbf{r})$$ এখন উপরের সমীকরণ $\text{(???)}$ এর উভয়পাশে $\psi (\mathbf{r})$ দিয়ে গুণ করলে পাবে-

Click to calculation

$$\begin{array}{rl}E\psi (\mathbf{r})& ={\displaystyle \frac{1}{2m}}{p}^2\psi (\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi (\mathbf{r})\\ \Rightarrow E\psi (\mathbf{r})& ={\displaystyle \frac{{\hslash }^2}{2m}}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi (\mathbf{r})\end{array}$$

$$E\psi (\mathbf{r})=[{\displaystyle \frac{{\hslash }^2}{2m}}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\mathbf{r})]\psi (\mathbf{r})$$ আর এটিই হলো সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ।

হিলবার্ট স্পেস সময় নির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণ