সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ

এই পরিচ্ছেদে তোমরা দেখতে পাবে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ শ্রোডিঙার সমীকরণ কিভাবে আসলো। তোমরা জানো যে, কোন বস্তুর মোটশক্তিকে গতিশক্তি $(\dfrac{1}{2}mv^2)$ আর বিভবশক্তির $(V(\mathbf{r}))$ সমষ্টি হিসাবে লিখা যায়। \begin{align} E=\dfrac{1}{2}mv^2+V(\mathbf{r}) \label{eq:energy} \end{align} কিন্তু তোমরা জানো যে ভরবেগ $p=mv$, সুতরাং উপরের সমীকরণ থেকে পাবে- \[ E=\dfrac{p^2}{2m}+V(\mathbf{r}) \] মনেকরো, সময় $t$ পরিবর্তনের সাথে সাথে কণাটি অবস্থান পরিবর্তন করলেও, তার বিভবশক্তির মান অপরিবর্তিত থাকছে। যেহেতু ক্ষুদ্রকণাগুলি একই সাথে কণা ও তরঙ্গের মতো আচরণ করে, এদের একটি ওয়েভফাংশন থাকবে। ধরো ওয়েভফাংশনটি হচ্ছে- \[ \psi(\mathbf{r})=e^{i(k\mathbf{r}-\omega t)} \] তাহলে $t$ কে ধ্রুব ধরে ওয়েভফাংশনটিকে $r$ এর সাপেক্ষে একবার ডিফারেন্সিয়েশন করে পাবে- \[ \nabla\psi(\mathbf{r})=\dfrac{\partial\psi(\mathbf{r})}{\partial r}=ike^{i(kr-\omega t)}=ik\psi(\mathbf{r}) \] এখানে $\nabla=\dfrac{\partial}{\partial r}$ এবং $\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}$ হচ্ছে ল্যাপলাসিয়ান। এবার $\psi(\mathbf{r})$ কে $r$ এর সাপেক্ষে দুইবার ডিফারেন্সিয়েশন করলে পাবে- \[ \nabla^2\psi(\mathbf{r})=\dfrac{\partial^2\psi(\mathbf{r})}{\partial r^2}=(ik)^2\psi(\mathbf{r}) \] আশা করি তোমাদের মনে আছে যে $p=\hbar k$, তাহলে

Click to calculation

\begin{align*} \nabla^2 &=-(\dfrac{p}{\hbar})^2\psi(\mathbf{r})\\ \Rightarrow \hbar^2\nabla^2&=p^2\psi(\mathbf{r}) \end{align*}

\[ p^2\psi(\mathbf{r})=-{\hbar^2}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) \] এখন উপরের সমীকরণ \eqref{eq:energy} এর উভয়পাশে $\psi(\mathbf{r})$ দিয়ে গুণ করলে পাবে-

Click to calculation

\begin{align*} E\psi(\mathbf{r}) &=\dfrac{1}{2m}p^2\psi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})\\ \Rightarrow E\psi(\mathbf{r}) &=\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) \end{align*}

\[ E\psi(\mathbf{r}) =\left[\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r})\right]\psi(\mathbf{r}) \] আর এটিই হলো সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ।

হিলবার্ট স্পেস সময় নির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণ