সময় নির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণ

আগের পরিচ্ছেদে তোমরা সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ কিভাবে আসলো সেটা সম্পর্কে জেনেছো। এই পরিচ্ছেদে দেখবে সময় নির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণ কিভাবে হিসেব করা হয়। তোমরা জানো যে শক্তিকে- \begin{align} E=\hbar\omega=hf \label{eq:energy2} \end{align} এভাবেও লেখা যায়। আগের মতই ওয়েভফাংশনটি হচ্ছে- \[ \psi(\mathbf{r},t)=e^{i(k\mathbf{r}-\omega t)} \] তবে এখানে বিভবশক্তি সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তন হচ্ছে। তাহলে এবার ওয়েভফাংশনটিকে সময় $t$ এর সাপেক্ষে একবার ডিফারেন্সিয়েশন করে পাবে-

Click to calculation

\begin{align*} \dot{\psi}(\mathbf{r},t)=\dfrac{\partial \psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = -i\omega e^{i(k\mathbf{r}-\omega t)} \end{align*}

\[ \Rightarrow\dot{\psi}(\mathbf{r},t)=-i\omega\psi(\mathbf{r},t) \] এখন উপরের সমীকরণ \eqref{eq:energy2} কে আগের মত $\dfrac{-i}{\hbar}\psi(\mathbf{r},t)$ দিয়ে গুণ করলে পাবে-

Click to calculation

\begin{align*} \dfrac{-i}{\hbar}E\psi(\mathbf{r},t)&=-i\omega\psi(\mathbf{r},t)\\ \Rightarrow\dfrac{-i}{\hbar}E\psi(\mathbf{r},t)&=\dot{\psi}(\mathbf{r},t)\\ \end{align*}

\[ E\psi(\mathbf{r},t)=i\hbar\dot{\psi}(\mathbf{r},t) \] কিন্তু সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ থেকে তোমরা জানো- \[ E\psi(\mathbf{r}) =\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) \] যেহেতু এখানে ওয়েভফাংশনটি সময়ের সাথেও পরিবর্তন হচ্ছে সুতরাং, এখানে $\psi(\mathbf{r})$এর জায়গায় $\psi(\mathbf{r},t)$ এবং $E\psi=i\hbar\dot{\psi}$ বসালে পাবে- \[ i\hbar\dot{\psi}(\mathbf{r},t)=\left[\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r})\right]\psi(\mathbf{r},t) \] এটিই হলো সময় নির্ভর শ্রোডিঙার সমীকরণ।

সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ স্থিতিশীল স্তরসমূহ