হিলবার্ট স্পেস

আশা করছি তোমরা অনেকেই ভেক্টর সম্পর্কে জানো। একটা দ্বিমাত্রিক তলের উপর দুটি ভেক্টর $(x_1,x_2)$ এবং $(y_1,y_2)$ রয়েছে। তাহলে তাদের স্কেলার গুণকে লেখা যাবে- $$(x,y)=\sum _{i=1}^2{x}_i{y}_i$$ আর ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হবে - $$||x||=\sqrt{\sum _{i=1}^2}{x}_i^2$$ হিলবার্ট স্পেস হচ্ছে এটারই জেনারালাইজড সংস্করণ। এখানে যেমন দ্বিমাত্রিক তলে ভেক্টরের কথা বলা হয়েছে, হিলবার্ট স্পেসে অসীম সংখ্যক মাত্রা ধরে হিসেব করা হয়। যেমন উপরের এই উদাহরণটিই হিলবার্ট স্পেসে বিবেচনা করবে তখন $(x_1,x_2)$ এর বদলে হবে $(x_1,x_2,x_3\cdots ,\mathrm{\infty })$ এবং $(y_1,y_2)$ হবে $(y_1,y_2,y_3,\cdots ,\mathrm{\infty })$। যখন স্কেলার গুণ করতে যাবে, তখন সেটা দাঁড়াবে- $$(x,y)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$$ আর ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হবে - $$||x||=\sqrt{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}}{x}_i^2<\mathrm{\infty }$$ এখানে একটা জিনিস খেয়াল করো,শর্ত দেওয়া আছে যে ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে সেটি কখনই অসীম হতে পারবেনা। দৈর্ঘ্যকে অবশ্যই সসীম $(<\mathrm{\infty })$ হতে হবে।

যেসব রাশি এই দুইটি শর্ত মেনে চলবে তাদেরকে হিলবার্ট স্পেস বলা হয়। বিংশ শতাব্দির শুরুতে প্রফেসর ডেভিড হিলবার্ট এই ধারণার প্রবর্তন করেন। পরবর্তীতে শ্রোয়েডিংগার ও অন্যান্য বিজ্ঞানীরা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের ঘটনা ব্যাখ্যা করতে গিয়ে এই হিলবার্ট স্পেসের ধারণা ব্যবহার করেন। বিশেষ করে যদি তোমরা শ্রোডিঙার সমীকরণের (অর্থাৎ ওয়েভফাংশনের) সমাধান বের করতে চাও, তাহলে হিলবার্ট স্পেস সম্পর্কে ধারণা থাকাটা খুবই জরুরী।

কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অপারেটর সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ