আগের পরিচ্ছেদের আলোচনা থেকে এখন তোমরা জানো যে, ওয়েভফাংশনকে স্কোয়ার করলে কণাটির অবস্থানের সম্ভাব্য বিস্তার পাওয়া যায়। কিন্তু যদি ভরবেগ বা শক্তি হিসেব করতে চাও, তাহলে কিভাবে করবে? দেখা গিয়েছে যে এগুলিও ওয়েভফাংশন থেকেই পাওয়া যায়। কণাটির যেসব ধর্ম ওয়েভফাংশন থেকে হিসেব করা যায়, তাদেরকে আমরা পর্যবেক্ষকরাশি বলি। কণার প্রত্যেকটি পর্যবেক্ষকরাশি রাশি ওয়েভফাংশন $\psi(x)$ এর উপর ক্রিয়া করে। যেমন, কণাটির অবস্থান নির্দেশ করা হয় $\hat{x} = x$ পর্যবেক্ষকরাশি দিয়ে। এরকম আরও কয়েকটি পর্যবেক্ষকরাশি হচ্ছে-
এখানে $m$ হচ্ছে ভর আর $V$ হচ্ছে বিভবশক্তি। $H$ হচ্ছে হ্যামিলটনিয়ান, আর এই হ্যামিলটনিয়ান গতিশক্তি $\frac{p^2}{2m}$ আর বিভবশক্তির $V$ সমন্বয়ে গঠিত।
লক্ষ্যকরো যে এখানে অবস্থান আর ভরবেগের অপারেটর এর উপর ছোট একটা হ্যাট $\hat{}$ বসানো হয়েছে ($\hat{x}$ আর $\hat{p}$) ক্লাসিকাল মেকানিক্সের অবস্থান আর ভরবেগের সাথে পার্থক্য বোঝানোর জন্য। এখন প্রশ্ন হচ্ছে, এই অপারেটরগুলি কণাগুলির বাহ্যিক ধর্মের সম্পর্ক কোথায়?যখন আমরা পর্যবেক্ষক রাশিগুলি বের করার চেস্টা করি, সেটি কোন নির্দিষ্ট ফলাফল দেয়না, বরং সম্ভাব্যতা পাওয়া যায়।
নির্দিষ্ট ফলাফল তখনই পাওয়া যায়, যদি ও কেবল যদি $\psi$ একটি আইগেনস্তর, অথবা অপারেটরের আইগেন ফাংশন হয়। সেক্ষেত্রে, আইগেনমান হিসেব করলেই নির্দিষ্ট মান পেয়ে যাবে। উদাহরণসরূপ, ধরো- \[ \hat{p} \psi = p\psi \] হবে, যদি এবং কেবল যদি $\psi$ এর ভরবেগের একটা নির্দিষ্ট মান $p$ থাকে। একইভাবে- \[ H\psi = E\psi \] হবে, যদি এবং কেবল যদি $\psi$ এর শক্তির একটি নির্দিষ্ট মান $E$ থাকে।
এখন থেকে আস্তে আস্তে বোঝা শুরু করবে, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের কেন কোয়ান্টাইজেশন ঘটে। যেমন এরকম সমীকরণ থেকে $E$ আর $p$ অপারেটরগুলির এক বা একাধিক নির্দিষ্ট আইগেনমান পাবে, কিন্তু অবিচ্ছিন্ন আইগেনমান কখনই পাওয়া যাবেনা। সংজ্ঞা অনুযায়ী তাই, $E$ আর $p$ অবশ্যই কোয়ান্টাইজড।
উদাহরণঃ ধরো \[ \psi(x) = Ae^{ikx}. \] যার তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda = 2\pi/k$ এবং এটি একটি ভরবেগের আইগেনস্তর। যেহেতু - \[ \hat{p}\psi = -\hbar \psi' = (\hbar k)\psi. \] সুতরাং এখান থেকে পাবে $p = \hbar k$। যদি সিস্টেমে কোন বিভবশক্তি না থাকে, অর্থাৎ $V = 0$ হয়, তাহলে \[ H\psi = \frac{\hat{p}^2}{2m}\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi. \] সুতরাং শক্তির আইগেনমান হচ্ছে- \[ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \] একটা বিষয় লক্ষ্য করো যে, আমাদের ওয়েভফাংশন $|\psi(x)|^2 = |A|^2$, অর্থাৎ একটি ধ্রুবক। সুতরাং এই ওয়েবফাংশনটি সবসময়ে নরমালাইজেবল নয়। তবে যদি এখানে একটা নির্দিষ্ট ডোমেইন $-\frac{\ell}{2} \leq x \leq \frac{\ell}{2}$ বিবেচনা করো, তাহলে $A= \frac{1}{\sqrt{\ell}}$ ধরে ওয়েভফাংশনটিকে নরমালাইজ করা যাবে।
উদাহরণঃ মনেকরো, ওয়েভফাংশনটি এরকম- \[ \psi(x) = A\exp\left(-\frac{x^2}{2\alpha}\right). \] যেকোন মান $p$ এর জন্য পাবে - \[ \hat{p}\psi(x) = -i\hbar \psi'(x) \not= p\psi(x) \] সুতরাং এটি ভরবেগের কোন আইগেনফাংশন নয়। তবে সিস্টেমটি যদি সরলদোলক হয় যার বিভবশক্তি- \[ V(x) = \frac{1}{2}Kx^2, \] তাহলে $\psi(x)$ হ্যামিলটনিয়ান অপারেটরের একটি আইগেন ফাংশন হবে। সেক্ষেত্রে যখন $\alpha^2 = \frac{\hbar^2}{Km}$ - \[ H\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + \frac{1}{2}Kx^2 \psi = E\psi \] এখানে শক্তির মান $E = \frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{K}{m}}$। সরলদোলকটি খুব সাধারণ সিস্টেম হলেও, তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে এটি অত্যন্ত কাজের। পরবর্তীতে এর আরও অনেক ব্যবহার দেখতে পাবে।
| অবস্থান | $\hat{x} = x$ | $\hat{x} \psi = x\psi(x)$ |
| ভরবেগ | $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$ | $\hat{p}\psi = -i\hbar \psi'(x)$ |
| শক্তি | $H = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x})$ | $H\psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) + V(x)\psi(x)$ |
এখানে $m$ হচ্ছে ভর আর $V$ হচ্ছে বিভবশক্তি। $H$ হচ্ছে হ্যামিলটনিয়ান, আর এই হ্যামিলটনিয়ান গতিশক্তি $\frac{p^2}{2m}$ আর বিভবশক্তির $V$ সমন্বয়ে গঠিত।
লক্ষ্যকরো যে এখানে অবস্থান আর ভরবেগের অপারেটর এর উপর ছোট একটা হ্যাট $\hat{}$ বসানো হয়েছে ($\hat{x}$ আর $\hat{p}$) ক্লাসিকাল মেকানিক্সের অবস্থান আর ভরবেগের সাথে পার্থক্য বোঝানোর জন্য। এখন প্রশ্ন হচ্ছে, এই অপারেটরগুলি কণাগুলির বাহ্যিক ধর্মের সম্পর্ক কোথায়?যখন আমরা পর্যবেক্ষক রাশিগুলি বের করার চেস্টা করি, সেটি কোন নির্দিষ্ট ফলাফল দেয়না, বরং সম্ভাব্যতা পাওয়া যায়।
নির্দিষ্ট ফলাফল তখনই পাওয়া যায়, যদি ও কেবল যদি $\psi$ একটি আইগেনস্তর, অথবা অপারেটরের আইগেন ফাংশন হয়। সেক্ষেত্রে, আইগেনমান হিসেব করলেই নির্দিষ্ট মান পেয়ে যাবে। উদাহরণসরূপ, ধরো- \[ \hat{p} \psi = p\psi \] হবে, যদি এবং কেবল যদি $\psi$ এর ভরবেগের একটা নির্দিষ্ট মান $p$ থাকে। একইভাবে- \[ H\psi = E\psi \] হবে, যদি এবং কেবল যদি $\psi$ এর শক্তির একটি নির্দিষ্ট মান $E$ থাকে।
এখন থেকে আস্তে আস্তে বোঝা শুরু করবে, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের কেন কোয়ান্টাইজেশন ঘটে। যেমন এরকম সমীকরণ থেকে $E$ আর $p$ অপারেটরগুলির এক বা একাধিক নির্দিষ্ট আইগেনমান পাবে, কিন্তু অবিচ্ছিন্ন আইগেনমান কখনই পাওয়া যাবেনা। সংজ্ঞা অনুযায়ী তাই, $E$ আর $p$ অবশ্যই কোয়ান্টাইজড।
উদাহরণঃ ধরো \[ \psi(x) = Ae^{ikx}. \] যার তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda = 2\pi/k$ এবং এটি একটি ভরবেগের আইগেনস্তর। যেহেতু - \[ \hat{p}\psi = -\hbar \psi' = (\hbar k)\psi. \] সুতরাং এখান থেকে পাবে $p = \hbar k$। যদি সিস্টেমে কোন বিভবশক্তি না থাকে, অর্থাৎ $V = 0$ হয়, তাহলে \[ H\psi = \frac{\hat{p}^2}{2m}\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\psi. \] সুতরাং শক্তির আইগেনমান হচ্ছে- \[ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \] একটা বিষয় লক্ষ্য করো যে, আমাদের ওয়েভফাংশন $|\psi(x)|^2 = |A|^2$, অর্থাৎ একটি ধ্রুবক। সুতরাং এই ওয়েবফাংশনটি সবসময়ে নরমালাইজেবল নয়। তবে যদি এখানে একটা নির্দিষ্ট ডোমেইন $-\frac{\ell}{2} \leq x \leq \frac{\ell}{2}$ বিবেচনা করো, তাহলে $A= \frac{1}{\sqrt{\ell}}$ ধরে ওয়েভফাংশনটিকে নরমালাইজ করা যাবে।
উদাহরণঃ মনেকরো, ওয়েভফাংশনটি এরকম- \[ \psi(x) = A\exp\left(-\frac{x^2}{2\alpha}\right). \] যেকোন মান $p$ এর জন্য পাবে - \[ \hat{p}\psi(x) = -i\hbar \psi'(x) \not= p\psi(x) \] সুতরাং এটি ভরবেগের কোন আইগেনফাংশন নয়। তবে সিস্টেমটি যদি সরলদোলক হয় যার বিভবশক্তি- \[ V(x) = \frac{1}{2}Kx^2, \] তাহলে $\psi(x)$ হ্যামিলটনিয়ান অপারেটরের একটি আইগেন ফাংশন হবে। সেক্ষেত্রে যখন $\alpha^2 = \frac{\hbar^2}{Km}$ - \[ H\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + \frac{1}{2}Kx^2 \psi = E\psi \] এখানে শক্তির মান $E = \frac{\hbar}{2}\sqrt{\frac{K}{m}}$। সরলদোলকটি খুব সাধারণ সিস্টেম হলেও, তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে এটি অত্যন্ত কাজের। পরবর্তীতে এর আরও অনেক ব্যবহার দেখতে পাবে।
কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অপারেটর
![কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অপারেটর]()
Reviewed by Dayeen
on
ডিসেম্বর ২৬, ২০২০
Rating:
