ক্লাসিকাল ভাবে নির্দিষ্ট সময়ে একমাত্রিক একটা কণার নির্দিষ্ট একটি অবস্থান $x$ এবং ভরবেগ $p$ থাকে। কণাটি কি অবস্থায় আছে (কোথায় আছে, ছোটাছুটি করছে নাকি স্থির হয়ে আছে ইত্যাদি) বোঝাতে $x$ এবং $p$ এর মান জানলেই চলে। কিন্তু কোয়ান্টাম মেকানিক্সে ব্যাপারটা একটু আলাদা, এখানে নির্দিষ্ট সময়ে একটি কণা নির্দিষ্ট একটি স্তরে থাকে এবং সেটি একটি জটিল-ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। একে আমরা ওয়েভ ফাংশন $\psi(x)$ বলি।
যদি $\psi$ কে নরমালাইজড করে যখন তুমি কণাটির অবস্থান হিসেব করবে, সেটি তোমাকে ঐ কণাটির নির্দিষ্ট অবস্থান $x$ দিবেনা। বরং $|\psi(x)|^2$ থেকে $[x, x + \delta x]$ অবস্থানের মধ্যে ঐ কণাটি থাকার সম্ভাব্যতা পাবে। ধরো, $[a, b]$ এর মধ্যে কণাটি থাকার সম্ভাব্যতা বের করতে চাও, সেজন্য সমীকরণটি হবে- \[ P(\text{particle position in }[a, b]) = \int_a^b |\psi(x)|^2 \;d x. \] সম্ভাব্যতা হিসেবের সূত্র থেকে তোমরা জানো যে এর মান $0\leq P\leq 1$ এর মধ্যে পাওয়া যায়। যদি কোন কিছু পাওয়ার সম্ভাব্যতা একদমই না থাকে তাহলে তার সম্ভাব্যতা হয় $0$, আর যদি পাওয়ার সম্ভাব্যতা শতকরা ১০০ ভাগ থাকে, তাহলে তার সম্ভাব্যতা হয় $1$। একইভাবে যেহেতু আমরা কণাটিকে খুজে পেতে চাচ্ছি, $\psi(x)$ এর নরমালাইজড মান অবশ্যই $1$ হতে হবে- \[ \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2\;d x = 1, \] ওয়েভফাংশন থেকে কিভাবে বস্তুর অবস্থান হিসেব করা যায়, এবার সেটার একটা উদাহরণ দেই-
উদাহরণঃ (গাউসিয়ান ওয়েভফাংশন) মনেকরো একটি কণার ওয়েভফাংশনটি এরকম- \[ \psi(x) = A e^{-\frac{(x - c)^2}{2\alpha}}, \] যেখানে $c$ একটি বাস্তবমান এবং $A$ একটি জটিল ধ্রুবক। এবার প্রথমে নরমালাইজেশনের জন্য $|\psi(x)|^2$ করে $-\infty$ থেকে $\infty$ এর মধ্যে ইন্টিগ্রেশন করে পাবে $A$ এর মান- \[ A = (1/\alpha \pi)^{1/4} \] সুতরাং দেখতে পারছো, নরমালাইজেশনের জন্য এক্ষেত্রে $A$ এর মান $(1/\alpha \pi)^{1/4}$ হতে হবে। যদি $\alpha$ এর মান খুবই ছোট হয় তাহলে $x = c$ এর জন্য একটি গ্রাফটির উপরের অংশ খাড়া ও সরু হবে। যদি $\alpha$ এর মান বড় হয়, তাহলে গ্রাফটি দুই পাশে ছড়িয়ে যাবে।
ওয়েভফাংশনটিকে যদি এভাবে নরমালাইজড করতে পারো, তাহলে কিছু কিছু ক্ষেত্রে সুবিধা হলেও সবসময় সুবিধা নাও হতে পারে। অনেকসময় জটিল ধ্রুবকের মান এমন অদ্ভুত আসে যে সেটি ফাংশনে বসিয়ে বড় বড় হিসেব করতে গেলে উল্টো হিসেবে গোলমাল বেধে যেতে পারে। তবে সুবিধা হচ্ছে, সবসময়ে হিসেবের শুরুতে এভাবে নরমালাইজড করতে হবে এমন কথা নেই, সমস্যা অনুযায়ী এই মান শেষেও হিসেব করতে পারবে।
যদি নরমালাইজেশন না করতে পারো, তাহলে $\lambda$ (এখানে $\lambda\neq 0$), $\psi(x)$ এবং $\lambda \psi(x)$ এর সম্ভাব্যতা সমান হবে অর্থাৎ তারা একই 'কোয়ান্টাম অবস্থা' বোঝাবে। সেক্ষেত্রে আমরা এই ওয়েভফাংশনকে নরমালাইজড না বলে নরমালাইজেবল বলে থাকি। অর্থাৎ - \[ \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 \;d x \lt \infty. \] খুব শীঘ্রই এমন কিছু ওয়েভফাংশন পাবে যেগুলিকে আসলে নরমালাইজড করা সম্ভব না। তাত্ত্বিকভাবে সেগুলি কাজে লাগানো গেলেও বাস্তব ক্ষেত্রে সেগুলির ব্যাখ্যা দেবার সময় একটু বুঝেশুনে আগাতে হবে।
কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটা অন্যতম ধর্ম হচ্ছে এর সমীকরণগুলি লিনিয়ার। অর্থাৎ যদি $\psi_1(x)$ আর $\psi_2(x)$ কোন একটা কণার ওয়েভফাংশন হয়, তাহলে $\psi_1(x) + \psi_2 (x)$ ও ঐ কণার একটা সম্ভাব্য ওয়েভফাংশন হবে। এটিকে সুপারপজিশন তত্ত্ব বলা হয়। উদাহরণঃ (গাউসিয়ান ওয়েভফাংশনের সুপারপজিশন) ধরো একটি কণার ওয়েভফাংশনটি হলো- \[ \psi(x) = B\left(\exp\left(\frac{-(x - c)^2}{2\alpha}\right) + \exp\left(-\frac{x^2}{2\beta}\right)\right). \] তাহলে এর গ্রাফটি হবে- \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.75, yscale=1.5] \draw (-3, 0) -- (9, 0); \draw [domain=-3:9,samples=80, mblue] plot (\x, {exp(-\x * \x) + exp(-(\x - 6)^2/4)}); \end{tikzpicture} \end{center} লক্ষ্য করো যে, এই ওয়েভফাংশনটি দুইটি আলাদা কণার জন্য নয়। বরং একটি কণাই দুটি ভিন্ন ভিন্ন অবস্থানে বিস্তার করার ফলেই সমীকরণটি এরকম।
আরেকটা জিনিস তোমাদের জানা থাকা দরকার। কিছু কিছু ক্ষেত্রে কণাগুলির অবস্থান সীমিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ হয়তো কণাটি শুধুমাত্র $ -\frac{\ell}{2} \leq x \leq \frac{\ell}{2}$ সীমার মধ্যে চলাচল করতে পারে। সেসব ক্ষেত্রে নরমালাইজেশনের শর্ত হিসেব করার জন্য ইন্টিগ্রেশনের লিমিট $(-\infty, \infty)$ এর বদলে $[-\frac{\ell}{2}, \frac{\ell}{2}]$ বসিয়ে হিসেব করতে হবে। পরবর্তীতে এরকম আরও উদাহরণ দেখতে পাবে।
যদি $\psi$ কে নরমালাইজড করে যখন তুমি কণাটির অবস্থান হিসেব করবে, সেটি তোমাকে ঐ কণাটির নির্দিষ্ট অবস্থান $x$ দিবেনা। বরং $|\psi(x)|^2$ থেকে $[x, x + \delta x]$ অবস্থানের মধ্যে ঐ কণাটি থাকার সম্ভাব্যতা পাবে। ধরো, $[a, b]$ এর মধ্যে কণাটি থাকার সম্ভাব্যতা বের করতে চাও, সেজন্য সমীকরণটি হবে- \[ P(\text{particle position in }[a, b]) = \int_a^b |\psi(x)|^2 \;d x. \] সম্ভাব্যতা হিসেবের সূত্র থেকে তোমরা জানো যে এর মান $0\leq P\leq 1$ এর মধ্যে পাওয়া যায়। যদি কোন কিছু পাওয়ার সম্ভাব্যতা একদমই না থাকে তাহলে তার সম্ভাব্যতা হয় $0$, আর যদি পাওয়ার সম্ভাব্যতা শতকরা ১০০ ভাগ থাকে, তাহলে তার সম্ভাব্যতা হয় $1$। একইভাবে যেহেতু আমরা কণাটিকে খুজে পেতে চাচ্ছি, $\psi(x)$ এর নরমালাইজড মান অবশ্যই $1$ হতে হবে- \[ \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2\;d x = 1, \] ওয়েভফাংশন থেকে কিভাবে বস্তুর অবস্থান হিসেব করা যায়, এবার সেটার একটা উদাহরণ দেই-
উদাহরণঃ (গাউসিয়ান ওয়েভফাংশন) মনেকরো একটি কণার ওয়েভফাংশনটি এরকম- \[ \psi(x) = A e^{-\frac{(x - c)^2}{2\alpha}}, \] যেখানে $c$ একটি বাস্তবমান এবং $A$ একটি জটিল ধ্রুবক। এবার প্রথমে নরমালাইজেশনের জন্য $|\psi(x)|^2$ করে $-\infty$ থেকে $\infty$ এর মধ্যে ইন্টিগ্রেশন করে পাবে $A$ এর মান- \[ A = (1/\alpha \pi)^{1/4} \] সুতরাং দেখতে পারছো, নরমালাইজেশনের জন্য এক্ষেত্রে $A$ এর মান $(1/\alpha \pi)^{1/4}$ হতে হবে। যদি $\alpha$ এর মান খুবই ছোট হয় তাহলে $x = c$ এর জন্য একটি গ্রাফটির উপরের অংশ খাড়া ও সরু হবে। যদি $\alpha$ এর মান বড় হয়, তাহলে গ্রাফটি দুই পাশে ছড়িয়ে যাবে।
ওয়েভফাংশনটিকে যদি এভাবে নরমালাইজড করতে পারো, তাহলে কিছু কিছু ক্ষেত্রে সুবিধা হলেও সবসময় সুবিধা নাও হতে পারে। অনেকসময় জটিল ধ্রুবকের মান এমন অদ্ভুত আসে যে সেটি ফাংশনে বসিয়ে বড় বড় হিসেব করতে গেলে উল্টো হিসেবে গোলমাল বেধে যেতে পারে। তবে সুবিধা হচ্ছে, সবসময়ে হিসেবের শুরুতে এভাবে নরমালাইজড করতে হবে এমন কথা নেই, সমস্যা অনুযায়ী এই মান শেষেও হিসেব করতে পারবে।
যদি নরমালাইজেশন না করতে পারো, তাহলে $\lambda$ (এখানে $\lambda\neq 0$), $\psi(x)$ এবং $\lambda \psi(x)$ এর সম্ভাব্যতা সমান হবে অর্থাৎ তারা একই 'কোয়ান্টাম অবস্থা' বোঝাবে। সেক্ষেত্রে আমরা এই ওয়েভফাংশনকে নরমালাইজড না বলে নরমালাইজেবল বলে থাকি। অর্থাৎ - \[ \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 \;d x \lt \infty. \] খুব শীঘ্রই এমন কিছু ওয়েভফাংশন পাবে যেগুলিকে আসলে নরমালাইজড করা সম্ভব না। তাত্ত্বিকভাবে সেগুলি কাজে লাগানো গেলেও বাস্তব ক্ষেত্রে সেগুলির ব্যাখ্যা দেবার সময় একটু বুঝেশুনে আগাতে হবে।
কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটা অন্যতম ধর্ম হচ্ছে এর সমীকরণগুলি লিনিয়ার। অর্থাৎ যদি $\psi_1(x)$ আর $\psi_2(x)$ কোন একটা কণার ওয়েভফাংশন হয়, তাহলে $\psi_1(x) + \psi_2 (x)$ ও ঐ কণার একটা সম্ভাব্য ওয়েভফাংশন হবে। এটিকে সুপারপজিশন তত্ত্ব বলা হয়। উদাহরণঃ (গাউসিয়ান ওয়েভফাংশনের সুপারপজিশন) ধরো একটি কণার ওয়েভফাংশনটি হলো- \[ \psi(x) = B\left(\exp\left(\frac{-(x - c)^2}{2\alpha}\right) + \exp\left(-\frac{x^2}{2\beta}\right)\right). \] তাহলে এর গ্রাফটি হবে- \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=0.75, yscale=1.5] \draw (-3, 0) -- (9, 0); \draw [domain=-3:9,samples=80, mblue] plot (\x, {exp(-\x * \x) + exp(-(\x - 6)^2/4)}); \end{tikzpicture} \end{center} লক্ষ্য করো যে, এই ওয়েভফাংশনটি দুইটি আলাদা কণার জন্য নয়। বরং একটি কণাই দুটি ভিন্ন ভিন্ন অবস্থানে বিস্তার করার ফলেই সমীকরণটি এরকম।
আরেকটা জিনিস তোমাদের জানা থাকা দরকার। কিছু কিছু ক্ষেত্রে কণাগুলির অবস্থান সীমিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ হয়তো কণাটি শুধুমাত্র $ -\frac{\ell}{2} \leq x \leq \frac{\ell}{2}$ সীমার মধ্যে চলাচল করতে পারে। সেসব ক্ষেত্রে নরমালাইজেশনের শর্ত হিসেব করার জন্য ইন্টিগ্রেশনের লিমিট $(-\infty, \infty)$ এর বদলে $[-\frac{\ell}{2}, \frac{\ell}{2}]$ বসিয়ে হিসেব করতে হবে। পরবর্তীতে এরকম আরও উদাহরণ দেখতে পাবে।
পদার্থের অবস্থা ও সম্ভাব্যতা
![পদার্থের অবস্থা ও সম্ভাব্যতা]()
Reviewed by Dayeen
on
ডিসেম্বর ২৫, ২০২০
Rating:
