কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্কে Seperation of variables

গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে অনেক সময়েই speration of variables পদ্ধতির মাধ্যমে পার্শিয়াল ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ সমাধান করা হয়ে থাকে। ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ল্যাপলাসের সমীকরণটিকে লেখা হয় এভাবে- \begin{align} \dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2}=0 \end{align} এধরনের সমস্যাগুলির সমাধান আলাদাভাবে তিনটি Ordinary differential সমীকরণ সমাধানের মাধ্যমে করা যায়। ধরেনাও, বিভবটিকে \(x,y\) ও \(z\) অক্ষ বরাবর তিনটি আলাদা আলাদা ফাংশনের গুনফলের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। \begin{align} \Phi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) \end{align} এই সমাধানটিকে উপরের সমীকরণে বসলে পাচ্ছি- \begin{align} \dfrac{d^2X}{dx^2}Y(y)Z(z)+\dfrac{d^2Y}{dy^2}X(x)Z(z)+{dy^2}\dfrac{d^2Z}{dz^2}X(x)Y(y) &=0\\ \dfrac{1}{X(x)}\dfrac{d^2X}{dx^2}+\dfrac{1}{Y(y)}\dfrac{d^2Y}{dy^2}+\dfrac{1}{Z(z)}\dfrac{d^2Z}{dz^2} &=0 \end{align} যেহেতু প্রত্যেকটি ফাংশন শুধু মাত্র একটি রাশির উপরই নির্ভর করে, সেজন্য পার্শিয়াল ডিফারেন্সিয়েশনের বদলে শুধু ডেরিভেটিভ দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে। একটা বিষয় লক্ষ্য করো, এই তিনটি রাশির ডিফারেন্সিয়েশন যোগ করলে যোগফল আসছে শূন্য। \(X(x),Y(y)\) এবং \(Z(z)\) এর ডিফারেন্সিয়েশন করলে অন্তত একটি \(-\) এবং দুইটি \(+\) বা দুইটি \(-\) এবং একটি \(+\) রেজাল্ট পাওয়া যাবে। তবে কোনটা \(+\) হবে আর কোনটা \(-\) হবে সেটা বাউন্ডারি কন্ডিশন প্রয়োগ করার পর জানা যাবে। এই বিষয়টি মাথায় রেখে আপাতত মনেকরি এই ফলাফলগুলি হচ্ছে \(\alpha,\beta\) এবং \(\gamma\)। এইবার এই ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলিকে আলাদা করে লেখা যাক। \begin{align} \dfrac{1}{X}\dfrac{d^2X}{dx^2}=-\alpha^2,\; \dfrac{1}{Y}\dfrac{d^2Y}{dy^2}=-\beta^2,\; \dfrac{1}{Z}\dfrac{d^2Z}{dz^2}=\gamma^2 \end{align} এখানে \begin{align} \alpha^2+\beta^2-\gamma^2=0 \end{align} আমরা জানি এই ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলির সাধারণ সমাধান হচ্ছে - \begin{align} \dfrac{d^2X}{dx^2}+\alpha^2X &=0 &&\Rightarrow X(x)=A_1\sin\alpha x+B_1\cos\alpha x\\ \dfrac{d^2Y}{dy^2}+\beta^2Y&=0 &&\Rightarrow Y(y)=A_2\sin\beta y+B_2\cos\beta y\\ \dfrac{d^2Z}{dz^2}-\gamma^2Z&=0 &&\Rightarrow Z(z)=A_3\sinh \gamma z+B_3\cosh \gamma z \end{align} এর সাধারণ সমাধানকে লেখা যায়- \begin{align} \Phi (x,y,z)= (A_1\sin\alpha x+B_1\cos\alpha x)(A_2\sin\beta y+B_2\cos\beta y)(A_3\sinh \gamma z+B_3\cosh \gamma z) \end{align} এখান থেকে \(\alpha,\beta\) আর \(\gamma\) বের করার জন্য বাউন্ডারির শর্ত প্রয়োগ করতে হবে। পরের পরিচ্ছেদগুলিতে এবিষয়ে কয়েকটা উদাহরণ দেখতে পাবে।

আগের পরিচ্ছেদ পরের পরিচ্ছেদ