দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশনের মূলতত্ত্ব

ধরো একটা ল্যাটিসে পজিটিভ চার্জ এবং ইলেকট্রনগুলি সুষমভাবে বিস্তৃত আছে। এদের হ্যামিলটনিয়ানকে লিখতে পারো এভাবে- \begin{align} H &=\sum_{l=1}^{N} T(\bar{r}) +\sum_{k=l=1}^{N} V(\bar{r}_1,\bar{r}_2) \end{align} এখানে \(N\approx 10^{23}\)। দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশন ব্যবহার করে কিভাবে উপরের সমীকরণটিকে আরেকটু সহজভাবে প্রকাশ করা যায় সেটা নিয়ে এবার আলোচনা করবো। তোমরা জানো কোয়ান্টাম মেকানিক্সে এধরনের কোন অবস্থা পেলেই আমরা শ্রোয়েডিঞ্জার সমীকরণটি সমাধানের জন্য উঠে পরে লেগে যাই। \begin{align} i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\psi(r_1,\dots , r_N) = H\psi(r_1,\dots, r_N,t) \end{align} ধরো সিস্টেমে একটি মাত্র পার্টিকেল আছে এবং তার ওয়েভফাংশন \(\psi_{E_k}(r_k)\)। এখানে \(E_k\) হলো কোয়ান্টাম নম্বরের একটা সেট যেটি সিস্টেমকে ব্যাখ্যা করে। যেমন, এগুলি যদি একটা বাক্সের ভেতর আবদ্ধ অনেকগুলি কণার সমীকরণ হয়, তাহলে এটি ওই কণাগুলির স্পিনকে নির্দেশ করে। \begin{align} \psi (r_1,\dots, r_N,t)= \sum_{E_1^\prime,\dots,E_N^\prime} C(E_1^\prime,\dots,E_N^\prime,t)\psi_{E_1^\prime}(r_1)\dots \psi_{E_N^\prime}(r_N) \end{align} এই সমীকরণটিকে নিয়ে শ্রোয়েডিঞ্জারের সমীকরণে বসিয়ে তাকে \(\{r_k\}\) এর উপর ইন্টিগ্রেশন করলে আমরা \(C(E_1^\prime,\dots,E_N^\prime,t)\) এর মান পেয়ে যাবো।

বোসন এবং ফার্মিওন

এখন ধরো একটা সিস্টেমের দুইটি পার্টিকেল নিয়ে একটির জায়গায় আরেকটি বসিয়ে অদল বদল করে দিলে। তাহলে বোসনের জন্য ওয়েভফাংশনটির কোনই পরিবর্তন হবেনা। \begin{align} \psi(r_1,\dots,r_i,r_j,\dots,t)=\psi(r_1,\dots,r_j,r_i,\dots,t) \end{align} কিন্তু ফার্মিওনের ক্ষেত্রে একটি নেগেটিভ চিহ্ন চলে আসবে। \begin{align} \psi(r_1,\dots,r_i,r_j,\dots,t)=-\psi(r_1,\dots,r_j,r_i,\dots,t) \end{align} এখন \(C\) এর মান পাই- \begin{align} (C(E_1^\prime,\dots E_i,\dots E_j,\dots,E_N^\prime,t)=\pm (C(E_1^\prime,\dots E_j,\dots E_i,\dots,E_N^\prime,t) \end{align}

বোসন

মনেকরো উপরের coefficient এ কয়েকটি কোয়ান্টাম নম্বর- \begin{align} C(12137,\dots, t) \end{align} এবং বোসনের বৈশিষ্ট থেকে তোমরা জানো যে এই কোয়ান্টাম নম্বরগুলির পূনরাবৃত্তি ঘটতে থাকবে। এখন যেহেতু দুইটি বোসনের অবস্থান পরিবর্তন করলে তাদের ওয়েভ ফাংশন অথবা coefficient এর কোন পরিবর্তন ঘটেনা, সুতরাং আমরা একই কোয়ান্টাম নম্বর যুক্ত বোসনগুলিকে একসাথে রাখতে পারি। \begin{align} C(111,\dots n_1,222\dots n_2,\dots, t) \end{align} কিন্তু এভাবে বোসনকে প্রকাশ করার কোন বাড়তি সুবিধা নেই। যেহেতু বোসনগুলিকে আলাদা করা যায় না সেহেতু একটি কোয়ান্টাম নম্বর যুক্ত কয়টা বোসন আছে সেটা লিখলেই চলে। \begin{align} C(n_1,n_2,\dots n_\infty, t) \end{align} এটিকে occupation number basis বলা হয়ে থাকে। এই পর্যায়ে একটা নতুন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক। \begin{align} f(n_1,n_2,\dots, n_\infty,t)=\left(\dfrac{N!}{n_1!,n_2!,\dots n_\infty !}\right)^{1/2}C(n_1,n_2,\dots,n_\infty,t) \end{align} এখন তাহলে ওই ওয়েভফাংশনটিকে লিখতে পারো এভাবে- \begin{align} \psi(r_1,r_2,\dots,r_N,t)=n\sum_{n_1,n_2,\dots,n_\infty} f(n_1,n_2,\dots, n_\infty,t)\Phi_{n_1,n_2,\dots,n_\infty}(r_1,r_2,\dots,r_N,t) \end{align} এখানে \begin{align} \Phi_{n_1,n_2,\dots,n_\infty}(r_1,r_2,\dots,r_N,t)=\sum_{E_1,\dots,E_N}\psi_{E_1}(r_1)\psi_{E_2}(r_2)\dots \psi_{E_N}(r_N) \end{align} হিসাবের এই পর্যায়ে এখন একটা অনেকগুলি কণার সমন্বয়ে গঠি abstract Hilbert space এর কথা চিন্তা করো যার স্টেট ভেক্টর- \begin{align} |\psi(t)\rangle \leftrightarrow \psi(r_1,\dots,r_N,t) \end{align} এবং এই স্টেট এর বেসিস \begin{align} |n_1,n_2,\dots,n_\infty \rangle \leftrightarrow \Phi_{n_1,n_2,\dots,n_\infty}(r_1,r_2,\dots,r_N) \end{align} এখন হয়তো ভাবছো, এত্ত ঝামেলা করে Hilbert space কেন নিয়ে আসা লাগবে? কারণ এতগুলি পার্টিকেলের জন্য ডিফারেন্সিয়েশন সমাধান করতে গেলে হিসেবে একদম ভেজাল হয়ে যাবে। এর থেকে Hilber space এ প্রকাশ করার ফলে হিসেবটা তুলনামূলকভাবে সহজ হয়ে যাবে।

আগের পরিচ্ছেদ পরের পরিচ্ছেদ