বীজগণিতের সূত্রাবলী

দুইটি ভ্যারিয়েবলের সূত্র

\begin{align} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\\ a^2-b^2 &= (a+b)(a-b) \end{align}

তিনটি ভ্যারিয়েবলের সূত্র

\begin{align} (a-b)(a-c) &= a^2-(b+c)a+bc \end{align}

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান

\(ax^2+bx+c=0\) হলে,

Click to calculation

\begin{align} ax^2+bx+c &=0\\ x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}&=0\\ x^2+\dfrac{b}{a}x&=-\dfrac{c}{a}\\ x^2+\dfrac{b}{a}x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2&=-\dfrac{c}{a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 &= \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\\ x+\dfrac{b}{2a} &= \pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ x &=-\dfrac{b}{2a} \pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{align}

\(x\) এর মান - \begin{align} x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}

ত্রিঘাত সমীকরণের সমাধান

\(ax^3+bx^2+cx+d=0\) হলে \begin{align} x &=\sqrt[3]{\left(\dfrac{-b^3}{27a^3}+\dfrac{bc}{6a^2}-\dfrac{d}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{-b^3}{27a^3}+\dfrac{bc}{6a^2}-\dfrac{d}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{3a}-\dfrac{b^2}{9a^2}\right)^3}}\\ &+\sqrt[3]{\left(\dfrac{-b^3}{27a^3}+\dfrac{bc}{6a^2}-\dfrac{d}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{-b^3}{27a^3}+\dfrac{bc}{6a^2}-\dfrac{d}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{3a}-\dfrac{b^2}{9a^2}\right)^3}}-\dfrac{b}{3a} \end{align} একটু ছোট করে লেখা যায় এভাবে- ধরো \(p=\dfrac{-b}{3a},q=p^3+\dfrac{bc-3ad}{6a^2},r=\dfrac{c}{3a}\)। তাহলে উপরের সমীকরণটি দাড়াচ্ছে- \begin{align} x= \{q+[q^2+(r-p^2)^3]^{1/2}\}^{1/3}+\{q-[q^2+(r-p^2)^3]^{1/2}\}^{1/3} \end{align}

পরিশিষ্ট