বিচ্ছুরণের তত্ত্ব (Scattering Theory)

ঐতিহাসিকভাবে কোয়ান্টাম ঘটনার ডাটা দুধরনের উৎস থেকে যোগাড় করা হতো বর্ণালী রেখা আর বিচ্ছুরনের গবেষনা থেকে। আগের অধ্যায়গুলিতে হাইড্রোজেনের মতো কণার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যায় এরকম বেশ কিছু থিওরী আলোচনা করা হয়েছে। এবার এই অধ্যায়ে বিচ্ছুরনের কোয়ান্টাম থিওরী নিয়ে আলোচনা করবো। \section{Fundamental Equations} সময়-নিরপেক্ষ scattering তত্ত্বের জন্যে কোন একটা পর্যায়ের (system) Hamiltonian কে লেখা যায় $$H=H_0+H_1,$$ এখানে $H_0$ হচ্ছে $m$ ভরের মুক্তকণার (free particle) Hamiltonian। এবং $$H_0=\frac{p^2}{2m},$$ আর $H_1$ হচ্ছে একটি বিচ্ছুরনের (scattering) উৎসের Hamiltonian। এবং সময়ের পরিবর্তনের সাথে এই Hamiltonian পরিবর্তিত হয়না। মনেকরি $H_0$ এর একটি energy eigenket $|\varphi ⟩$। তাহলে শ্রোয়েডিঞ্জারের সমীকরণ থেকে লেখা যায়- $$H_0|\varphi ⟩=E|\varphi ⟩,$$ এখানে ওয়েভফাংশন $⟨{\mathbf{x}}^{\prime }|\varphi ⟩$ বা $\varphi ({\mathbf{x}}^{\prime })$। ধরে নাও এই শক্তিস্তরটি (state) একটি a plane wave state অথবা spherical wave state। সুতরাং বিচ্ছুরনের জন্যে শ্রোয়েডিঞ্জারে সমীকরণটি হবে- $$(H_0+H_1)|\psi ⟩=E|\psi ⟩,$$ এখানে $|\psi ⟩$ , $H$ এর একটি energy eigenstate যার ওয়েভফাংশন $⟨{\mathbf{x}}^{\prime }|\psi ⟩$ বা $\psi ({\mathbf{x}}^{\prime })$। সাধারনভাবে, $H_0$ এবং $H_0+H_1$ উভয়েরই শক্তি-বর্ণক্রম অবিচ্ছিন্ন অর্থাৎ তাদের শক্তির আইগেনস্তর সীমিত নয়। আমাদের boundary condition হলো $H_1$ এর মান যত কম হবে ($H_1\to 0$) আমাদের ওয়েভফাংশন $\psi$ আর মুক্ত কণার ওয়েভফাংশন $\varphi$ এর মান তত কাছাকাছি হবে $|\psi ⟩\to |\varphi ⟩$। এখন দেখি ($\text{???}$) এর সেরকম কোন সমাধান খুজে বের করতে পারি কিনা। শ্রোয়েডিঞ্জারের সমীকরণ ব্যবহার করে ($\text{???}$) কে লেখা যায়- $$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)\psi (\mathbf{x})=\frac{2m}{{\hslash }^2}⟨\mathbf{x}|H_1|\psi ⟩,$$ এখানে $$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}.$$ সমীকরণ ($\text{???}$) কে Helmholtz এর সমীকরণ বলা হয়। গ্রীনের ফাংশন ব্যবহার করে খুব সহজেই এই ফাংশনের বিপরীত ফাংশন বের করে ফেলা যায়। অর্থাৎ- $$\psi (\mathbf{x})=\varphi (\mathbf{x})+\frac{2m}{{\hslash }^2}\int d^3{x}^{\prime }G(\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime })⟨{\mathbf{x}}^{\prime }|H_1|\psi ⟩,$$ যেখানে $$({\mathrm{\nabla }}^2+k^2)G(\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime })=\delta (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }).$$ লক্ষ্য করো যে ($\text{???}$) সমীকরণটি আমাদের boundary condition $H_1\to 0$ এর জন্যে $|\psi ⟩\to |\varphi ⟩$ কে পূর্ণ করে। Helmholtz সমস্যার জন্যে খুব পরিচিত একটি গ্রীনের ফাংশন রয়েছে - $$G(\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime })=-\frac{\exp (\pm \mathrm{i}k|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|)}{4\pi |\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}.$$ সুতরাং ($\text{???}$) কে লেখা যায়- $${\psi }^{\pm }(\mathbf{x})=\varphi (\mathbf{x})-\frac{2m}{{\hslash }^2}\int d^3{x}^{\prime }\frac{\exp (\pm \mathrm{i}k|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|)}{4\pi |\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}⟨{\mathbf{x}}^{\prime }|H_1|{\psi }^{\pm }⟩.$$ ধরো বিচ্ছুরনের Hamiltonian, $H_1$, শুধু মাত্র অবস্থানের উপর নির্ভর করে। তাহলে আমরা পাই- $$⟨{\mathbf{x}}^{\prime }|H_1|\mathbf{x}⟩=V(\mathbf{x})\delta (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }).$$ আগের অধ্যায়ের আলোচনা থেকে আমরা উপরের সমীকরণকে লিখতে পারি- $$⟨{\mathbf{x}}^{\prime }|H_1|{\psi }^{\pm }⟩=\int d^3{x}^{″}⟨{\mathbf{x}}^{\prime }|H_1|{\mathbf{x}}^{″}⟩⟨{\mathbf{x}}^{″}|{\psi }^{\pm }⟩=V({\mathbf{x}}^{\prime }){\psi }^{\pm }({\mathbf{x}}^{\prime }).$$ সুতরাং ($\text{???}$) থেকে পাবো- $${\psi }^{\pm }(\mathbf{x})=\varphi (\mathbf{x})-\frac{2m}{{\hslash }^2}\int d^3{x}^{\prime }\frac{\exp (\pm \mathrm{i}k|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|)}{4\pi |\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}V({\mathbf{x}}^{\prime }){\psi }^{\pm }({\mathbf{x}}^{\prime }).$$ মনেকরো আমাদের প্রাথমিক স্তর $|\varphi ⟩$ হচ্ছে একটা plane wave যার ওয়েভভেক্টর $\mathbf{k}$। তাহলে এই plane wave এর ভরবেগকে লেখা যায় $\mathbf{p}=\hslash \mathbf{k}$। এবং এই স্তরের ket হচ্ছে- $|\mathbf{k}⟩$। তাহলে এই স্তরের ওয়েভফাংশনকে লেখা যায়- $$⟨\mathbf{x}|\mathbf{k}⟩=\frac{\exp (\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}{(2\pi {)}^{3/2}}.$$ ওয়েভফাংশনটি normalize করে পাই- $$⟨\mathbf{k}|{\mathbf{k}}^{\prime }⟩=\int d^{3}x⟨\mathbf{k}|\mathbf{x}⟩⟨\mathbf{x}|{\mathbf{k}}^{\prime }⟩=\int d^{3}x\frac{\exp [-\mathrm{i}\mathbf{x}\cdot (\mathbf{k}-{\mathbf{k}}^{\prime })]}{(2\pi {)}^3}=\delta (\mathbf{k}-{\mathbf{k}}^{\prime })$$ মনেকরো বিচ্ছুরিত বিভব শক্তি $V(\mathbf{x})$ এর মান কেন্দ্রের ($\mathbf{x}=\mathbf{0}$) কাছাকাছি কিছু স্থান বাদে বাকি সব জায়গায় শূন্য। এবার বিচ্ছুরনের ক্ষেত্র থেকে অনেক দূরে ওয়েভফাংশন $\psi (\mathbf{x})$ এর মানের কি কোন পরিবর্তন হবে? চলো সেটা দেখা যাক। বিচ্ছুরনের ক্ষেত্র থেকে অনেক দূরে আমরা ধরতে পারি $r\gg r^{\prime }$। তাহলে $r^{\prime }/r$ এর প্রথমক্রম নিয়ে - $$|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|\simeq r-{\mathbf{e}}_r\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }$$ এখানে $${\mathbf{e}}_r=\frac{\mathbf{x}}{r}$$ এটি একটি একক ভেক্টর। এখানে, $r=|\mathbf{x}|$ এবং $r^{\prime }=|{\mathbf{x}}^{\prime }|$। এবার ধরো- $${\mathbf{k}}^{\prime }=k{\mathbf{e}}_r.$$ এটা পরিস্কার যে, ${\mathbf{k}}^{\prime }$ এমন সব কণিকার ওয়েভভেক্টর যাদের শক্তি আপতিত কণিকাগুলির শক্তির সমান (অর্থাৎ $k^{\prime }=k$), কিন্তু বিচ্ছুরনের ক্ষেত্র থেকে পর্যবেক্ষন বিন্দুর দিকে বিস্তার লাভ করে। খেয়াল করো যে, $$\exp (\pm \mathrm{i}k|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|)\simeq \exp (\pm \mathrm{i}kr)\exp (\mp \mathrm{i}{\mathbf{k}}^{\prime }\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }).$$ যদি $r$ এর মান অনেক অনেক বেশি হয়, তাহলে ($\text{???}$) সমীকরণটিকে লেখা যায় - $${\psi }^{\pm }(\mathbf{x})\simeq \frac{\exp (\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}{(2\pi {)}^{3/2}}-\frac{m}{2\pi {\hslash }^2}\frac{\exp (\pm \mathrm{i}kr)}{r}\int d^3{x}^{\prime }\exp (\mp \mathrm{i}{\mathbf{k}}^{\prime }\cdot {\mathbf{x}}^{\prime })V({\mathbf{x}}^{\prime }){\psi }^{\pm }({\mathbf{x}}^{\prime }).$$ সমীকরণের ডানপাশের প্রথম পদ আপতিত তরঙ্গের থেকে এসেছে, আর দ্বিতীয় পদ বিচ্ছুরন ক্ষেত্রের কেন্দ্র থেকে উদ্ভুত spherical তরঙ্গকে প্রকাশ করে। ${\psi }^{\pm }$ এর উপর যোগ চিহ্নটি বিচ্ছুরন ক্ষেত্র থেকে বিস্তৃত তরঙ্গকে নির্দেশ করে আর বিয়োগ চিহ্নটি বিচ্ছুরন ক্ষেত্রের দিকে বিস্তৃত তরঙ্গকে নির্দেশ করে। বিচ্ছুরন ক্ষেত্র থেকে অনেক অনেক দূরে ওয়েভফাংশনটিকে প্রকাশ করা যায়- $$\psi (\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}[\exp (\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})+\frac{\exp (\mathrm{i}kr)}{r}f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})],$$ এখানে $$f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})=-\frac{(2\pi {)}^{2}m}{{\hslash }^2}\int d^3{\mathbf{x}}^{\prime }\frac{\exp (-\mathrm{i}{\mathbf{k}}^{\prime }\cdot {\mathbf{x}}^{\prime })}{(2\pi {)}^{3/2}}V({\mathbf{x}}^{\prime })\psi ({\mathbf{x}}^{\prime })=-\frac{(2\pi {)}^{2}m}{{\hslash }^2}⟨{\mathbf{k}}^{\prime }|H_1|\psi ⟩.$$ এবার আসো দেখি কিভাবে differential cross-section বের করতে হয়। কোন একটা একক সময়ে যে পরিমান কণা কোন solid angle $d\Omega$ র ভেতর দিয়ে বিচ্ছুরিত হয় আর আর যে পরিমান কণার flux আপতিত হয় তার এর অনুপাতকে differential cross-section বলা হয় একে $d\sigma /d\Omega$ লেখা যায়। $\text{???}$ অধ্যায়ের আলোচনা থেকে আমরা জানি, কণিকার flux (probability current) কে ওয়েভফাংশন $\psi$ এর সাপেক্ষে লেখা যায় - $$\mathbf{j}=\frac{\hslash }{m}\mathrm{I}\mathrm{m}({\psi }^{\ast }\mathrm{\nabla }\psi ).$$ এবং, আপতিত ওয়েভফাংশনের জন্যে probability flux কে লেখা যায়- $$\frac{\exp (\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}{(2\pi {)}^{3/2}},$$ is $${\mathbf{j}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}=\frac{\hslash }{(2\pi {)}^{3}m}\mathbf{k}.$$ একইভাবে , বিচ্ছুরিত ওয়েভফাংশনের জন্যে probability flux কে লেখা যায়- $$\frac{\exp (\mathrm{i}kr)}{(2\pi {)}^{3/2}}\frac{f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})}{r},$$ is $${\mathbf{j}}_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}}=\frac{\hslash }{(2\pi {)}^{3}m}\frac{|f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k}){|}^2}{r^2}k{\mathbf{e}}_r.$$ এবার $$\frac{d\sigma }{d\Omega }d\Omega =\frac{r^{2}d\Omega |{\mathbf{j}}_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}}|}{|{\mathbf{j}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}|},$$ থেকে পাই $$\frac{d\sigma }{d\Omega }=|f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k}){|}^2.$$ তাহলে যেসব কণিকার আপতিত ভরবেগ $\hslash \mathbf{k}$ , $|f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k}){|}^2$ রাশিটি তাদের differential cross-section কে প্রকাশ করে। খেয়াল রেখো, যেসব কণিকার বিচ্ছুরিত শক্তি আর আপতিত শক্তি সমান (অর্থাৎ $k^{\prime }=k$) শুধুমাত্র সেসব কণার জন্যে ($\text{???}$) সমীকরণটি সঠিক।

আগের পরিচ্ছেদ পরের পরিচ্ছেদ