Born এর আসন্নমান

যেসব ক্ষেত্রে বিচ্ছুরনের হার খুব একটা বেশি থাকেনা সেসব ক্ষেত্রে আমাদের যুক্ত ওয়েভফাংশন $\psi({\bf x})$ আর আপতিত ওয়েভফাংশন $\phi({\bf x})$ এর মধ্যেও খুব বেশি পার্থক্য থাকেনা । সুতরাং $f({\bf k}', {\bf k})$ এর মান বের করার জন্যে আমরা যদি লিখতে পারি- $\psi({\bf x})$ কে $\phi({\bf x})$ এর মান দিয়ে প্রতিস্থাপিত করতে পারি- \begin{equation} \psi({\bf x}) \rightarrow \phi({\bf x}) = \frac{\exp(\,{\rm i}\,{\bf k} \cdot {\bf x} ) }{(2\pi)^{3/2}}. \end{equation} একে Born approximation বলা হয়। Born approximation থেকে পাই- \begin{equation} f({\bf k}', {\bf k}) \simeq - \frac{m}{2\pi\, \hbar^2} \int d^3 x'\,\exp\left[\, {\rm i}\, ({\bf k} - {\bf k}')\cdot {\bf x}'\right] V({\bf x}'). \end{equation} সুতরাং , $f({\bf k}', {\bf k})$ বিচ্ছুরিত বিভবশক্তি $V({\bf x})$ এর Fourier transform এর সমানুপাতিক। এবং এখানে ওয়েভভেক্টর ${\bf q} \equiv {\bf k} - {\bf k}'$। একটি সুষম-গোলকীয় ( spherically symmetric) বিভবশক্তির জন্যে পাই, \begin{equation} f({\bf k}', {\bf k}) \simeq - \frac{m}{2\pi\, \hbar^2} \int_0^\infty\!\int_0^\pi\!\int_0^{2\pi} dr' \,d\theta'\,d\phi'\,r'^{\,2}\,\sin\theta' \,\exp(\,{\rm i} \, q \,r'\cos\theta') \, V(r'), \end{equation} এখানে থেকে পাই- \begin{equation}\label{e7.38} f({\bf k}', {\bf k}) \simeq - \frac{2\,m}{\hbar^2\,q} \int_0^\infty dr'\,r' \,V(r') \sin(q \,r'). \end{equation} লক্ষ্য করো যে সুষম-গোলকীয় বিভবশক্তির জন্যে $f({\bf k}', {\bf k})$ কে $q$ এর একটা ফাংশন হিসাবে লেখা যায়। একটু হিসেব কষে তোমরা খুব সহজেই বের করতে পারবে যে- \begin{equation} q \equiv |{\bf k} - {\bf k}'| = 2\, k \,\sin (\theta/2), \end{equation} এখানে $\theta$ হচ্ছে ${\bf k}$ ও ${\bf k}'$ এর মধ্যবর্তী কোন। অন্যভাবে বলা যায়, $\theta$ হলো বিচ্ছুরন কোন। আমরা জানি যে ভেক্টর ${\bf k}$ আর ${\bf k}'$ এর দৈর্ঘ্য সমান (শক্তির নিত্যতা সূত্র থেকেই এটা বের করে ফেলা যায়)। এবার Yukawa বিভবশক্তির কথা চিন্তা করো। \begin{equation} V(r) = \frac{V_0\,\exp(-\mu \,r)}{\mu \,r}, \end{equation} মনেকরো এই বিভবশক্তির কারনে বিচ্ছুরন ঘটছে। এখানে $V_0$ একটি ধ্রুব সংখ্যা, আর $1/\mu$ বিভবশক্তির ব্যাপ্তি কতটুকু সেটা নির্দেশ করে। (\ref{e7.38}) সমীকরণ থেকে লেখা যায়- \begin{equation} f(\theta) = - \frac{2\,m \,V_0}{\hbar^2\,\mu} \frac{1}{q^2 + \mu^2}, \end{equation} কারণ \begin{equation} \int_0^\infty dr'\, \exp(-\mu \,r') \,\sin(q\,r') = \frac{q}{q^2+\mu^2}. \end{equation} সুতরাং , Born approximation এর ক্ষেত্রে Yukawa বিভবশক্তির কারণে যে বিচ্ছুরন ঘটে তার differential cross-section হলো- \begin{equation} \frac{d\sigma}{d {\mit\Omega}} \simeq \left(\frac{2\,m \,V_0}{ \hbar^2\,\mu}\right)^2 \frac{1}{[4\,k^2\,\sin^2(\theta/2) + \mu^2]^{\,2}}. \end{equation} যখন $\mu \rightarrow 0$ হয়, তখন $V_0/\mu \rightarrow Z\,Z'\, e^2 / 4\pi\,\epsilon_0$ হয়, ফলে Yukawa বিভব কুলম্বের বিভবের মতো রূপ ধারন করে। এই সীমায় Born differential cross-section কে লেখা যায়- \begin{equation} \frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} \simeq \left(\frac{2\,m \,Z\, Z'\, e^2}{4\pi\,\epsilon_0\,\hbar^2}\right)^2 \frac{1}{ 16 \,k^4\, \sin^4( \theta/2)}. \end{equation} আমরা জানি $ |{\bf p}|= \hbar\, k$ , সুতরাং উপরের সমীকরণ থেকে লেখা যায়- \begin{equation}\label{e7.46} \frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} \simeq\left(\frac{Z \,Z'\, e^2}{16\pi\,\epsilon_0\,E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}, \end{equation} এখানে $E= p^2/2\,m$ হচ্ছে আপতিত কণার গতিশক্তি । সমীকরণ (\ref{e7.46}) টি Rutherford scattering cross-section এর সমীকরণের মতন। যদি বিচ্ছুরনের ক্ষেত্রে $\psi({\bf x})$ আর $\phi({\bf x})$ এর মান কাছাকাছি হয়, শুধুমাত্র তখনই Born approximation ব্যবহার করা যায়। সুতরাং (\ref{e7.17}) সমীকরণে ${\bf x} = {\bf 0}$ এর কাছাকাছি বিচ্ছুরন ক্ষেত্রের জন্য যদি- \begin{equation}\label{e7.47} \left| \frac{m}{2\pi\, \hbar^2} \int d^3 x'\,\frac{ \exp(\,{\rm i}\, k \,r')}{r'} \,V({\bf x}') \right| \ll 1. \end{equation} হয়, তাহলেই আমরা বলতে পারবো $\psi({\bf x})\simeq \phi({\bf x})$। Yukawa বিভবের একটি বিশেষ পরিস্থিতির কথা চিন্তা করো, যখন বিভবশক্তি খুবই দূর্বল থাকে (অর্থাৎ $k\ll \mu$) আমরা $\exp(\,{\rm i}\,k\, r')$ কে একক হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। তাহলে আমরা পাবো- \begin{equation} \frac{2\,m}{\hbar^2} \frac{|V_0|}{\mu^2} \ll 1 \end{equation} যেটা Born approximation ন্যায্যতাকে নির্দেশ করে। Yukawa বিভবের কারণে সীমাবদ্ধ স্তর (bound state) তৈরির শর্ত হলো- \begin{equation} \frac{2\,m}{\hbar^2} \frac{|V_0|} {\mu^2} \geq 2.7, \end{equation} এখানে $V_0$ এর মান ঋণাত্মক। সুতরাং যদি বিভবশক্তিটি দূর্বল না হয়, তাহলে সেটি সীমাবদ্ধ স্তর তৈরি করতে সক্ষম হবে। এবং সেক্ষেত্রে Born approximation ব্যবহার করা যাবেনা। যদি $k$ এর মান অনেক বড় হয় তাহলে সমীকরণ (\ref{e7.47}) থেকে পাই \begin{equation} \frac{2\,m}{\hbar^2} \frac{|V_0|}{\mu \,k} \ll 1. \end{equation} এই অসমতা নির্দেশ করে যে, যদি আপতিত কণিকার শক্তি যতবেশি হবে, Born approximation এর মাধ্যমে তত ভাল ফলাফল পাওয়া যাবে।

আগের পরিচ্ছেদ পরের পরিচ্ছেদ