Born এর আসন্নমান

যেসব ক্ষেত্রে বিচ্ছুরনের হার খুব একটা বেশি থাকেনা সেসব ক্ষেত্রে আমাদের যুক্ত ওয়েভফাংশন $\psi (\mathbf{x})$ আর আপতিত ওয়েভফাংশন $\varphi (\mathbf{x})$ এর মধ্যেও খুব বেশি পার্থক্য থাকেনা । সুতরাং $f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})$ এর মান বের করার জন্যে আমরা যদি লিখতে পারি- $\psi (\mathbf{x})$ কে $\varphi (\mathbf{x})$ এর মান দিয়ে প্রতিস্থাপিত করতে পারি- $$\psi (\mathbf{x})\to \varphi (\mathbf{x})=\frac{\exp (\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}{(2\pi {)}^{3/2}}.$$ একে Born approximation বলা হয়। Born approximation থেকে পাই- $$f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})\simeq -\frac{m}{2\pi {\hslash }^2}\int d^3{x}^{\prime }\exp [\mathrm{i}(\mathbf{k}-{\mathbf{k}}^{\prime })\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }]V({\mathbf{x}}^{\prime }).$$ সুতরাং , $f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})$ বিচ্ছুরিত বিভবশক্তি $V(\mathbf{x})$ এর Fourier transform এর সমানুপাতিক। এবং এখানে ওয়েভভেক্টর $\mathbf{q}\equiv \mathbf{k}-{\mathbf{k}}^{\prime }$। একটি সুষম-গোলকীয় ( spherically symmetric) বিভবশক্তির জন্যে পাই, $$f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})\simeq -\frac{m}{2\pi {\hslash }^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }d{r}^{\prime }d{\theta }^{\prime }d{\varphi }^{\prime }{r}^{\prime 2}\sin {\theta }^{\prime }\exp (\mathrm{i}q{r}^{\prime }\cos {\theta }^{\prime })V(r^{\prime }),$$ এখানে থেকে পাই- $$f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})\simeq -\frac{2m}{{\hslash }^{2}q}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}d{r}^{\prime }{r}^{\prime }V(r^{\prime })\sin (q{r}^{\prime }).$$ লক্ষ্য করো যে সুষম-গোলকীয় বিভবশক্তির জন্যে $f({\mathbf{k}}^{\prime },\mathbf{k})$ কে $q$ এর একটা ফাংশন হিসাবে লেখা যায়। একটু হিসেব কষে তোমরা খুব সহজেই বের করতে পারবে যে- $$q\equiv |\mathbf{k}-{\mathbf{k}}^{\prime }|=2k\sin (\theta /2),$$ এখানে $\theta$ হচ্ছে $\mathbf{k}$ ও ${\mathbf{k}}^{\prime }$ এর মধ্যবর্তী কোন। অন্যভাবে বলা যায়, $\theta$ হলো বিচ্ছুরন কোন। আমরা জানি যে ভেক্টর $\mathbf{k}$ আর ${\mathbf{k}}^{\prime }$ এর দৈর্ঘ্য সমান (শক্তির নিত্যতা সূত্র থেকেই এটা বের করে ফেলা যায়)। এবার Yukawa বিভবশক্তির কথা চিন্তা করো। $$V(r)=\frac{V_0\exp (-\mu r)}{\mu r},$$ মনেকরো এই বিভবশক্তির কারনে বিচ্ছুরন ঘটছে। এখানে $V_0$ একটি ধ্রুব সংখ্যা, আর $1/\mu$ বিভবশক্তির ব্যাপ্তি কতটুকু সেটা নির্দেশ করে। ($\text{???}$) সমীকরণ থেকে লেখা যায়- $$f(\theta )=-\frac{2m{V}_0}{{\hslash }^2\mu }\frac{1}{q^2+{\mu }^2},$$ কারণ $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}d{r}^{\prime }\exp (-\mu r^{\prime })\sin (q{r}^{\prime })=\frac{q}{q^2+{\mu }^2}.$$ সুতরাং , Born approximation এর ক্ষেত্রে Yukawa বিভবশক্তির কারণে যে বিচ্ছুরন ঘটে তার differential cross-section হলো- $$\frac{d\sigma }{d\Omega }\simeq {\left(\frac{2m{V}_0}{{\hslash }^2\mu }\right)}^2\frac{1}{[4k^2{\sin }^2(\theta /2)+{\mu }^2{]}^2}.$$ যখন $\mu \to 0$ হয়, তখন $V_0/\mu \to Z{Z}^{\prime }{e}^2/4\pi {ϵ}_0$ হয়, ফলে Yukawa বিভব কুলম্বের বিভবের মতো রূপ ধারন করে। এই সীমায় Born differential cross-section কে লেখা যায়- $$\frac{d\sigma }{d\Omega }\simeq {\left(\frac{2mZ{Z}^{\prime }{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{\hslash }^2}\right)}^2\frac{1}{16k^4{\sin }^4(\theta /2)}.$$ আমরা জানি $|\mathbf{p}|=\hslash k$ , সুতরাং উপরের সমীকরণ থেকে লেখা যায়- $$\frac{d\sigma }{d\Omega }\simeq {\left(\frac{Z{Z}^{\prime }{e}^2}{16\pi {ϵ}_{0}E}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4(\theta /2)},$$ এখানে $E=p^2/2m$ হচ্ছে আপতিত কণার গতিশক্তি । সমীকরণ ($\text{???}$) টি Rutherford scattering cross-section এর সমীকরণের মতন। যদি বিচ্ছুরনের ক্ষেত্রে $\psi (\mathbf{x})$ আর $\varphi (\mathbf{x})$ এর মান কাছাকাছি হয়, শুধুমাত্র তখনই Born approximation ব্যবহার করা যায়। সুতরাং ($\text{???}$) সমীকরণে $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ এর কাছাকাছি বিচ্ছুরন ক্ষেত্রের জন্য যদি- $$|\frac{m}{2\pi {\hslash }^2}\int d^3{x}^{\prime }\frac{\exp (\mathrm{i}k{r}^{\prime })}{r^{\prime }}V({\mathbf{x}}^{\prime })|\ll 1.$$ হয়, তাহলেই আমরা বলতে পারবো $\psi (\mathbf{x})\simeq \varphi (\mathbf{x})$। Yukawa বিভবের একটি বিশেষ পরিস্থিতির কথা চিন্তা করো, যখন বিভবশক্তি খুবই দূর্বল থাকে (অর্থাৎ $k\ll \mu$) আমরা $\exp (\mathrm{i}k{r}^{\prime })$ কে একক হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। তাহলে আমরা পাবো- $$\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{|V_0|}{{\mu }^2}\ll 1$$ যেটা Born approximation ন্যায্যতাকে নির্দেশ করে। Yukawa বিভবের কারণে সীমাবদ্ধ স্তর (bound state) তৈরির শর্ত হলো- $$\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{|V_0|}{{\mu }^2}\ge 2.7,$$ এখানে $V_0$ এর মান ঋণাত্মক। সুতরাং যদি বিভবশক্তিটি দূর্বল না হয়, তাহলে সেটি সীমাবদ্ধ স্তর তৈরি করতে সক্ষম হবে। এবং সেক্ষেত্রে Born approximation ব্যবহার করা যাবেনা। যদি $k$ এর মান অনেক বড় হয় তাহলে সমীকরণ ($\text{???}$) থেকে পাই $$\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{|V_0|}{\mu k}\ll 1.$$ এই অসমতা নির্দেশ করে যে, যদি আপতিত কণিকার শক্তি যতবেশি হবে, Born approximation এর মাধ্যমে তত ভাল ফলাফল পাওয়া যাবে।

আগের পরিচ্ছেদ পরের পরিচ্ছেদ