বাইনারি অপারেটর

বাইনারি অপারেটর

আমরা সাধারণ বীজগণিতে দুইটি রাশির মধ্যে $+,-,\times ,÷$ ইত্যাদি চিহ্ন দেখে বুঝতে পারি রাশিগুলিকে যোগ, বিয়োগ, গুণ অথবা ভাগ করতে হবে। এগুলিকে অপারেটর বলা হয়। Abstract বীজগণিতেও আমরা এরকম অপারেটর ব্যবহার করে থাকি, একটি সেট এর দুইটি উপাদানের উপর ক্রিয়া করে রেজাল্ট হিসাবে আরেকটি উপাদান তৈরি করে। একে বাইনারি অপারেটর বলা হয়। বাইনারি অপারেটরকে সাধারণভাবে '$\ast$' দিয়ে প্রকাশ করা হয়ে থাকে। তবে কিছু কিছু ক্ষেত্রে সেটের সাথে সাথে কোন অপারেটরটি ব্যবহার করা হবে সেটাও উল্লেখ করা থাকতে পারে। যেমনঃ ($G,+$) দিয়ে বোঝানো হয়, সেট $G$ এর উপাদানগুলির জন্য বাইনারি অপারেটর হলো যোগ; একইভাবে ($G,.$) দিয়ে বোঝানো হয়, সেট $G$ এর উপাদানগুলির জন্য বাইনারি অপারেটর হলো গুণ।

সেটের বাইনারি অপারেশন

মনেকরো একটি সেট $G=\{a,b,\dots \}$ রয়েছে। এখন এই সেটের দুইটি উপাদান $a,b$ এর মাঝে বাইনারি অপারেটর '$\ast$' প্রয়োগ করা হলে যদি ফলাফল হিসাবে ওই সেটের আরেকটি উপাদান পাওয়া যায়, তাহলে সেটিকে বাইনারি অপারেশন বলা হয়। খুব সহজ বাইনারি অপারেশনের উদাহরণ হচ্ছে, সেটের উপাদানগুলির যোগ '$+$' অথবা গুন '$\times$' ইত্যাদি। তবে সেটের বাইনারি অপারেশনগুলির কিছু কিছু বৈশিষ্ট্য থাকে। এই বৈশিষ্ট্যগুলির উপর নির্ভর করে গ্রুপের ভিন্ন ভিন্ন ভাগ করা যায়।

বাইনারি অপারেশনের বৈশিষ্ট্য

Closure: মনেকরো একটা সেট $G$ এর যেকোন দুইটি উপাদান $a$ এবং $b$। এখন তাদের মাঝে বাইনারি অপারেশন $a\ast b$ এর ফলে তুমি $c$ পেলে। যদি $c$ ও সেট $G$ এর উপাদান হয় $c\in G$, তাহলে একে আমরা closed অপারেশন বলে থাকি। এধরনের closed বাইনারি অপারেশনকে কে Magma ও বলা হয়।

যেমন পূর্ণ সংখ্যার সেট $\mathbb{Z}$ এর কথাই ধরো। যদি $\mathbb{Z}$ থেকে যেকোন দুইটি পূর্ণ সংখ্যা $a$ এবং $b$ নিয়ে যোগ $a+b$, বিয়োগ $a-b$ বা গুন $ab$ করো তাহলে ফলাফল হিসাবে আরেকটি পূর্ণ সংখ্যা পাবে। কাজেই পূর্ণ সংখ্যার সেট $\mathbb{Z}$ এর জন্য যোগ, বিয়োগ ও গুণ বাইনারি অপারেশনগুলিকে closed বাইনারি অপারেশন বলতে পারি।

তবে ভাগ $÷$ কিন্তু পূর্ণ সংখ্যার সেটের জন্য কোন closed বাইনারি অপারেশন নয়। কারণ $a$ কে $b$ দিয়ে ভাগ করলে যদি যদি ভাগশেষ থেকে যায়, তাহলে আসলে সেটের উপাদান নয়।

Associativity: মনে করো সেট $G$ এর তিনটি উপাদান $a,b$ এবং $c$। প্রথমে $a$ এবং $b$ এর মধ্যে বাইনারি অপারেশন করলে; তারপর সেই ফলাফলের সাথে $c$ এর বাইনারি অপারেশন করলে, অর্থাৎ $(a\ast b)\ast c$ বের করলে। এরপর $b$ এবং $c$ এর মধ্যে বাইনারি অপারেশন আগে করে সেটাকে $a$ এর সাথে বাইনারি অপারেশন করলে অর্থাৎ $a\ast (b\ast c)$ বের করলে।

যদি $G$ সেটের জন্য $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$ হয়, তাহলে আমরা বলতে পারবো, এই বাইনারি অপারেশনটি Associative।

উদাহরণ হিসাবে বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb{R}$ এর কথাই ধরো। যদি তিনটি বাস্তব সংখ্যার মধ্যে যোগফল বের করতে চাও তাহলে $(4+2)+3=4+(2+3)$। আবার একইভাবে যদি গুনফল বের করতে চাও সেক্ষেত্রে $(4\times 2)\times 3=4\times (2\times 4)$। অর্থাৎ বাস্তব সংখ্যার সেটের জন্য যোগ এবং গুন দুইটি বাইনারি অপারেশনই Associative।

বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb{R}$ এর জন্য বিয়োগ কিন্তু associative নয়। কারণ $(4-2)-3=-1$ কিন্তু $4-(2-3)=5$।

স্বাভাবিকভাবে মনে হতে পারে associativity খুবই সাধারণ বৈশিষ্ট, এটা আবার হিসেব করার কি দরকার! কিন্তু সেটা আসলে সব সময়ে সত্যি নয়।

উদাহরণ দেখা যাক। মনে করো, একটি সেট $S=\{a,b,c,\dots \}$। এবং এদের উপাদানগুলির জন্য বাইনারি অপারেশন হচ্ছে এরকম- $a\ast b=2(a+b)\in \mathbb{Z}$। তাহলে এটি কি একটি গ্রুপ? এসো দেখা যাক। $$\begin{array}{rl}\therefore (a\ast b)\ast c& =2(a+b)\ast c\\ & =2(2(a+b)+c)\\ & =4a+4b+2c\end{array}$$ আবার $$\begin{array}{rl}a\ast (b\ast c)& =a\ast 2(b+c)\\ & =2(a+2(b+c))\\ & =2a+4b+4c\end{array}$$ অর্থাৎ $(a\ast b)\ast c\ne a\ast (b\ast c)$; তারমানে এদের associative বৈশিষ্ট্য নেই ।

Commutativity: যদি একটি সেট $G$ এর উপাদানের বাইনারি অপারেশন যদি $a\ast b=b\ast a$ শর্তটি মেনে চলে তাহলে বলা যায় এটি commutative।

উদাহরণ হিসাবে আবারও বাস্তব সংখ্যার সেটটির কথা চিন্তা করো। এক্ষেত্রে $2+4=4+2$ অথবা $2\times 4=4\times 2$। কিন্তু $2÷4\ne 4÷2$।

একটা বিষয় মাথায় রাখবে যে, binary operation সব সময়ে commutative হয়না, বিশেষ করে পরের অধ্যায়ে যখন গ্রুপ নিয়ে আলোচনা করা হবে তখন জানতে পারবে, যদি কোন গ্রুপের উপাদানগুলির বাইনারি অপারেশন commutative হয়, তাদেরকে 'Abelian গ্রুপ' বলা হয়ে থাকে।

আগের পরিচ্ছেদ পরের পরিচ্ছেদ