গ্রুপের প্রাথমিক ধারণা

গ্রুপ থিওরী হচ্ছে abstract বীজগনিত এর একটি অংশ। আগের অধ্যায়গুলিতে বাইনারি অপারেটর আর সেটের কিছু উপাদান সম্পর্কে আলোচনা করেছিলাম। এবার আসো গ্রুপের সংজ্ঞাটি দেওয়া যাক।

গ্রুপ

গ্রুপ হচ্ছে একটা সেট $G$, যার উপাদানগুলির নিচের চারটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে-

Closure: সেট $G$ এর উপাদানগুলির $a,b$ এর বাইনারি অপারেশনের ফলাফল $c$, ওই সেটের আরেকটি উপাদান $c\in G$।

Associativity: সকল $a,b,c\in G;$ এর জন্য, $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$। অর্থাৎ গ্রুপের উপাদানগুলির বাইনারি অপারেশন associative হবে।

Unit (Identity) element: সেট $G$ এ একটি একক বা Identity উপাদান $e$ থাকবে।

Inverse element: সেটের যেকোন উপাদান $a\in G$ এরজন্য একটি Inverse উপাদান $a^{-1}\in G$।

এবার একটা প্রশ্ন করি। যদি $S=\{1,2,3\}$ হয়, তাহলে ($S,+$) কি গ্রুপ?

এক্ষেত্রে $S$ একটি গ্রুপ কিনা বোঝার জন্য প্রথমে দেখি এটির উপাদান গুলির closure বৈশিষ্ট্য রয়েছে কিনা। এজন্য গ্রুপের উপাদানগুলিকে যোগ করে দেখাযাক। $1+2=3$, হলে $3\in S$, ঠিকআছে। কিন্তু $2+3=5$ এর জন্য $5\notin S$। অর্থাৎ এই সেটটি closure মেনে চলেনা। সুতরাং ($S,+$) কোন গ্রুপ নয়। সুতরাং এই চারটির বৈশিষ্ট্যের কোন একটি না থাকলেই সেটিকে আর গ্রুপ বলা যাবেনা।

সাবগ্রুপ

একটি গ্রুপের সাবসেট, যারা ওই গ্রুপের বৈশিষ্ট্যগুলি মেনে চলে তাদেরকে ওই গ্রুপের সাবগ্রুপ বলা হয়। একটি গ্রুপের মোট উপাদান যেকয়টি তার গুণিতক থেকে সাবগ্রুপের সংখ্যা নির্ণয় করা যায়। যেমনঃ গ্রুপের উপাদান 8টি হলে, 8 এর গুণিতকগুলি হচ্ছে- 8,4,2,1। তাহলে সাবগ্রুপগুলির অর্ডার হবে -1,2,4 ও 8। আবার যদি গ্রুপের উপাদান 4টি হয়ে, তাহলে 4 এর গুণিতক- 4,2,1। অর্থাৎ সাবগ্রুপগুলির অর্ডার হবে 4,2,1। এখন প্রশ্ন করতে পারো, একটি গ্রুপের কয়টি সাবগ্রুপ থাকবে সেটা কিভাবে বের করবো?

খুব সহজ! যদি গুণিতকের সংখ্যা ${\tau }_n$ এবং তাদের যোগফল ${\sigma }_n$ হয়, তাহলে মোট সাবগ্রুপের ($G\le g_{tot}$) সংখ্যা হবে $$\begin{array}{r}{g}_{tot}={\tau }_n+{\sigma }_n\end{array}$$

কিছু প্রয়োজনীয় Axiom

প্রথমে আমরা প্রমান করবো, একটি সংখ্যার inverse আগে বা পরে যেভাবেই নেওয়া হোকনা কেন, ফলাফলে identity বা unit element ই পাওয়া যাবে, অর্থাৎ $e=x^{-1}.x=x.x^{-1}$। মনেকরো, $e$ হলো একটা unit element। $$\begin{array}{rl}e\ast x& =x\\ e\ast x^{-1}& =x^{-1}\\ (x^{-1}\ast x)\ast x^{-1}& =x^{-1}\\ x^{-1}\ast (x\ast x^{-1})& =x^{-1}\\ ((x^{-1}{)}^{-1})x^{-1}\ast (x\ast x^{-1})& =((x^{-1}{)}^{-1})x^{-1}\\ e\ast (x\ast x^{-1})& =e\\ x\ast x^{-1}& =e\end{array}$$ axiom: Unit element অন্য element এর বাম দিকে বা ডানদিকে যেখানেই থাকুক, এটি যে element উপর ক্রিয়া করবে, তা অপরিবর্তিত থাকবে।
প্রমান: আমরা জানি, একটা সংখ্যাকে তার inverse দিয়ে গুন করলে identity বা unit element পাওয়া যায়। $e=x^{-1}.x$। $$\begin{array}{rl}e\ast x& =x\\ (x^{-1}\ast x)\ast x& =x\\ (x\ast x^{-1})\ast x& =x\\ x\ast (x^{-1}\ast x)& =x\\ x\ast e& =x\end{array}$$ Unit element এর uniquenessঃ
ধরো $e$ এবং $f$ দুইটি unit element। অর্থাৎ $$\begin{array}{r}x\ast e=x\\ x\ast f=x\end{array}$$ প্রথমে দেখি $x$ যদি $e$ এর সমান হয়, $$e\ast f=e$$ এখন $x$ যদি $f$ এর সমান হয়, $$f\ast e=f$$ অর্থাৎ এই দুইটা সমীকরণ থেকে লেখা যায়, $$e=f$$

আগের পরিচ্ছেদ পরের পরিচ্ছেদ