ভেক্টর রাশির ডট গুণন

ভেক্টর রাশির গুণ করার পদ্ধতি দুটিঃ একটি হচ্ছে স্কেলার গুণন পদ্ধতি আরেকটি হলো ভেক্টর গুণন পদ্ধতি। যখন ভেক্টর রাশিগুলির গুণফল একটি স্কেলার রাশি হয়, তাকে স্কেলার গুণ বলা হয়ে থাকে। মনেকরো $\vec{u}$ , $\vec{v}$ এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $|\vec{u}|$ ও $|\vec{v}|$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাপ $\theta$। তাহলে গাণিতিকভাবে এদের স্কেলার গুণনকে প্রকাশ করা হবে- \begin{align} \vec{u}.\vec{v} &=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta \end{align} লক্ষ্যকরো যে ভেক্টর $\vec{u}$ , $\vec{v}$ এর মাঝে একটি ডট (.) দিয়ে গুণকে প্রকাশ করা হয়েছে। এজন্য স্কেলারগুণনকে অনেকসময় ডটগুণন বলা হয়। তবে ভেক্টরস্পেসে ডটগুণনের standard notation হলো $\langle u,v \rangle$। অর্থাৎ সমীকরণ (1) কে এভাবেও লেখা যায়- \begin{align} \langle u,v \rangle &=\vec{u}.\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta \end{align} এরপরে ডটগুণন বোঝাতে standard নোটেশনই ব্যবহার করবো।

দুটো ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের $cosine$ এর গুণনকে স্কেলার গুণন বা ডট গুণন বলা হয়। ডট গুণফল একটি স্কেলার রাশি হবে।

$\vec{u}$ , $\vec{v}$ এর ডট গুণফল ধনাত্মক নাকি ঋণাত্মক হবে সেটা তাদের অন্তর্গত কোণ $\theta$ এর উপর নির্ভর করে। যদি $\theta \lt 90^\circ$ হয় অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ সূক্ষ্মকোণ হয়, তাহলে ভেক্টরদুটির ডট গুণফল ধনাত্মক হবে। আর যদি $\theta \gt 90^\circ$ হয় অর্থাৎ মধ্যবর্তী কোণ যদি স্থুলকোণ হয় তাহলে ডট গুণফল ঋণাত্মক হবে।

ভেক্টর স্পেসে ডটগুণন

ত্রিমাত্রিক ভেক্টরস্পেসে দুটি ভেক্টর $\vec{u}=[u_x,u_y,u_z]$ এবং $\vec{v}=[v_x,v_y,v_z]$ হয়, তাহলে ভেক্টর দুটির ডটগুণনকে তাদের উপাদানগুলোর গুণফলের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। অর্থাৎ - \begin{align} \langle u,v \rangle &= \vec{u}.\vec{v} = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z \end{align} তাহলে n-dimensional ভেক্টর স্পেসে $\vec{u}=[u_1,u_2,u_3,\dots,u_n]$ এবং $\vec{v}=[v_1,v_2,v_3,\dots,v_n]$ ভেক্টর দুটির ডটগুণনকে প্রকাশ করতে পারো এভাবে- \begin{align} \langle u,v \rangle &= u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3+\dots+u_n v_n\\ \end{align} অথবা সংক্ষেপে- \begin{align} \langle u,v \rangle &= \sum_{i=1}^n u_iv_i \end{align}

ডটগুণনের ধর্মাবলী

ভেক্টররাশির ডটগুণনের কিছু মজাদার ধর্ম রয়েছে। সেগুলি হলো-

• ১) দুটি ভেক্টরের ডটগুণফল commutative। অর্থাৎ দুটি ভেক্টর $u,v\in V$ এর জন্য-
  Click to calculation
  
  \begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\ &= |\vec{v}||\vec{u}|\cos\theta\\ &= \vec{v}.\vec{u} \end{align*} সুতরাং
  \begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\vec{v}.\vec{u} \end{align*}
• ২) ভেক্টরের ডটগুণফল associative। অর্থাৎ একটি স্কেলার $\alpha$ ও দুটি ভেক্টর $u,v\in V$ হলে-
  Click to calculation
  
  \begin{align*} (\alpha \vec{u}).\vec{v} &= \alpha uv\cos\theta \end{align*} আবার \begin{align*} \alpha (\vec{u}.\vec{v}) &= \alpha uv\cos\theta \end{align*} এবং \begin{align*} \vec{u}.( \alpha \vec{v}) &= \alpha uv\cos\theta \end{align*} সুতরাং
  \begin{align*} (\alpha\vec{u}).\vec{v}=\alpha(\vec{u}.\vec{v})=\vec{u}.(\alpha\vec{v}) \end{align*}
• ৩) দুটি ভেক্টরের যোগের সাথে তৃতীয় একটি ভেক্টরের ডটগুণফলের ক্ষেত্রে সেটি distributive হয়। যেমনঃ তিনটি ভেক্টর $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ এর জন্য $$\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$$
• ৪) দুটি ভেক্টর একে অপরের উপর লম্ব হলে তাদের ডটগুণফল শূণ্য হয়। যদি $\vec{u},\vec{v}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হয় আর এরা একে অপরের উপর লম্ব হয়-
  Click to calculation
  
  তাহলে $\theta=90^\circ$ হবে। ডট গুণনের সূত্র থেকে আমরা জানি- \begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=|\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta\\ &=|\vec{u}||\vec{v}|\cos90^\circ \end{align*} কিন্তু $\cos90^\circ=0$। সুতরাং \begin{align*} |\vec{u}||\vec{v}|\cos90^\circ&=0 \end{align*} অর্থাৎ
  \begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=0 \end{align*}


৪ নম্বর ধর্ম অনুযায়ী দুটি ভেক্টরের পরস্পরের সাথে লম্ব হবার শর্ত হলো তাদের মধ্যকার ডটগুণফলকে শূণ্য হতে হবে। তবে খেয়াল রাখবে, যদি ভেক্টরদুটির একটি null ভেক্টর (যার মান শূণ্য) হয়, তাহলেও তাদের ডটগুণন শূণ্য হবে, তবে তারা একে অপরের উপর লম্ব হবে না।



• ৫) দুটি একক ভেক্টর পরস্পরের সমান্তরাল হলে তাদের ডটগুণনের মান একক হবে।

লক্ষ্য করো যে, এখানে উল্লেখিত ৪ এবং ৫ নম্বর ধর্ম থেকে খুব সহজেই বোঝা যায়-

বেসিস ভেক্টরগুলো যেহেতু একে অপরের উপর লম্ব, সেহেতু তাদের মধ্যকার ডটগুণন সবসময়ই শূণ্য হবে। অর্থাৎ- $\hat{e}_x.\hat{e}_y=\hat{e}_y.\hat{e}_z=\hat{e}_z.\hat{e}_x=0$।
কিন্তু একই বেসিস ভেক্টরের মধ্যকার ডটগুণন মান সবসময় একক হবে অর্থাৎ- $\hat{e}_x.\hat{e}_x=\hat{e}_y.\hat{e}_y=\hat{e}_z.\hat{e}_z=1$।

এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট। ভেক্টরের অংক কষার সময় বেশ কাজে লাগবে।

উপাংশের সাহায্যে ডটগুণন

মনেকরো $\vec{u},\vec{v}$ ত্রিমাত্রিক ভেক্টরস্পেসে দুটি ভেক্টর। উপাংশের সাহায্যে এদেরকে লিখতে পারবে- \begin{align*} \vec{u} &= u_x\hat{e}_x+u_y\hat{e}_y+u_z\hat{e}_z\\ \vec{v} &= v_x\hat{e}_x+v_y\hat{e}_y+v_z\hat{e}_z \end{align*} তাহলে \begin{align*} \langle \vec{u},\vec{v}\rangle &= (u_x\hat{e}_x+u_y\hat{e}_y+u_z\hat{e}_z).(v_x\hat{e}_x+v_y\hat{e}_y+v_z\hat{e}_z) \end{align*} বিস্তার করে পাবে-

Click to calculation

\begin{align} \langle \vec{u},\vec{v}\rangle &= u_x v_x (\hat{e}_x.\hat{e}_x) + u_x v_y (\hat{e}_x.\hat{e}_y) +u_x v_z (\hat{e}_x.\hat{e}_z) +u_y v_x(\hat{e}_y.\hat{e}_x) +u_y v_y(\hat{e}_y.\hat{e}_y) +u_y v_z(\hat{e}_y.\hat{e}_z) +u_z v_z(\hat{e}_z.\hat{e}_x) +u_z v_y(\hat{e}_z.\hat{e}_y) +u_z v_z(\hat{e}_z.\hat{e}_z) \end{align} যেহেতু $\hat{e}_x.\hat{e}_y=\hat{e}_y.\hat{e}_z=\hat{e}_z.\hat{e}_x=0$ এবং $\hat{e}_x.\hat{e}_x=\hat{e}_y.\hat{e}_y=\hat{e}_z.\hat{e}_z=1$, সমীকরণ (6) থেকে পাচ্ছো - \begin{align*} \langle \vec{u},\vec{v}\rangle&= u_x v_x +0 +0 +0 +u_y v_y +0 +0 +0 +u_z v_z\\ &=u_x v_x +u_y v_y+u_z v_z \end{align*} সুতরাং

\begin{align} \langle \vec{u},\vec{v}\rangle &= u_x v_x +u_y v_y+u_z v_z \end{align}

উপরে উল্লেখিত চার নম্বর ধর্ম অনুযায়ী ভেক্টরদুটি পরস্পরের উপর লম্ব হলে $u_x v_x +u_y v_y+u_z v_z=0$ হবে।

ডটগুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

উপরে উল্লেখিত $\vec{u},\vec{v}$ ভেক্টরদুটি নাও। এরপর $\vec{u}$ এর সমান $\vec{OA}$ এবং $\vec{v}$ এর সমান $\vec{OB}$ আঁকো। এবার $B$ বিন্দু থেকে $\vec{BA}$ ভেক্টর এঁকে $\triangle OAB$ পূর্ণ করো। তাহলে ভেক্টরবিয়োগের ত্রিভুজসূত্র অনুযায়ী $\vec{BA}$ ভেক্টরটি $\vec{u}-\vec{v}$ প্রকাশ করবে।

ছবিঃ ১

এখানে ত্রিভুজের কোসাইন রুল অনুযায়ী ত্রিভুজ $\triangle{OAB}$ থেকে পাবে- \begin{align} BA^2 &= OA^2+OB^2 - 2(OA)(OB)cos\theta \end{align} ছবিতে আঁকা ভেক্টরগুলোর মান যথাক্রমে- \begin{align*} OA &=|\vec{u}|^2 = u_x^2+u_y^2+u_z^2\\ OB &=|\vec{v}|^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2\\ BA &=|\vec{u}-\vec{v}|^2 = (u_x-v_x)^2+(u_y-v_y)^2+(u_z-v_z)^2 \end{align*} এই মানগুলো সমীকরণ (8) এ বসিয়ে দিলে পাবে-

Click to calculation

\begin{align*} |\vec{u}-\vec{v}|^2 &= |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\\ \Rightarrow (u_x-v_x)^2+(u_y-v_y)^2+(u_z-v_z)^2 &= u_x^2+u_y^2+u_z^2 + v_x^2+v_y^2+v_z^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\\ \end{align*} সমীকরনটিকে বিস্তার করলে পাবে- \begin{align*} u_x^2-2u_xv_x+v_x^2 + u_y^2-2u_yv_y+v_y^2 + u_z^2-2u_zv_x+v_z^2 &= u_x^2+u_y^2+u_z^2 + v_x^2+v_y^2+v_z^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\\ \Rightarrow -2u_xv_x-2u_yv_y-2u_zv_x &= - 2|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\\ \Rightarrow u_xv_x+u_yv_y+u_zv_x &= |\vec{u}||\vec{v}|cos\theta \end{align*} কিন্তু সংজ্ঞা অনুযায়ী $\langle u,v \rangle =|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$। তাহলে-

\begin{align} u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z &= \langle u,v \rangle \end{align}

দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণের হিসাব

যদি তোমাকে শুধুই দুটি ভেক্টর $\vec{u}$ , $\vec{v}$ দেওয়া হয়, কিন্তু তাদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ এর মান দেওয়া না হয়, তাহলে ডটগুণনের সূত্র থেকে খুব সহজেই সেটি হিসাব করে বের করে ফেলতে পারবে। \begin{align*} \langle u,v \rangle &=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\ \Rightarrow \theta &= \cos^{-1}\left(\dfrac{\langle u,v \rangle}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right) \end{align*} একটু খেয়াল করলেই বুঝতে পারবে, যদি $\langle u,v \rangle=0$ হয়, তাহলে উপরের সূত্র অনুযায়ী $\theta=90^\circ$ হবে, অর্থাৎ এক্ষেত্রে ভেক্টরদুটি পরস্পরের উপর লম্ব।

ভেক্টর রাশির যোগ ও বিয়োগ ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন