ভেক্টরের উপাংশ ও মান নির্ণয়

ভেক্টর উপাংশ

বিস্তারিত আলোচনায় যাবার আগে ভেক্টর উপাংশ সম্পর্কে তোমাদের একটু বলে নেই। যেমন $\vec{v}$ ভেক্টরটির কথাই ধরো, এটি দ্বিমাত্রিক তলে x-অক্ষের সাথে $\theta^{\circ}$ কোণ তৈরি করেছে। এই ভেক্টর $\vec{v}$ কে তার কো-অর্ডিনেটের অক্ষ বরাবর ভাগ করতে পারি। এদেরকে বলবো ওই ভেক্টরের উপাংশ Vector component । দ্বিমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরটির উপাংশ থাকবে দুইটি। একইভাবে ত্রিমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরটির উপাংশ হবে তিনটি। যদি $n$-মাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেম চিন্তা করো, তাহলে ভেক্টরটিকে $n$ টি উপাংশে ভাগ করতে পারবে।

ছবিঃ ১

দ্বিমাত্রিক তলে ভেক্টরের উপাংশঃ

উপাংশ হিসেব করার জন্য $\vec{v}$ এর নিচের বিন্দু হতে $x$-অক্ষের সমান্তরাল $v_x$ আকো আর তীরের মাথা বিন্দু থেকে $y$-অক্ষের সমান্তরাল (অথবা $x$-অক্ষের লম্ব বরাবর) $v_y$ আকো। তাহলে একটা সমকোণী ত্রিভুজ পাচ্ছো। ত্রিকোণমিত্রির সূত্র ব্যবহার করে পাবে- \begin{align} \cos\theta &= \dfrac{|\vec{v}_x|}{|\vec{v}|}\\ \Rightarrow |\vec{v}_x| &= |\vec{v}|\cos\theta \end{align} একইভাবে $\vec{v}_y$ এর জন্য লিখতে পারো- \begin{align} \sin\theta &= \dfrac{|\vec{v}_y|}{|\vec{v}|}\\ \Rightarrow |\vec{v}_y| &= |\vec{v}| \sin\theta \end{align} এবার সমীকরন (4) কে (3) দিয়ে ভাগ করে লিখতে পারো- \begin{align} \tan\theta &= \dfrac{|\vec{v}_y|}{|\vec{v}_x|}\\ \Rightarrow &= \tan^{-1}\dfrac{|\vec{v}_y|}{|\vec{v}_x|} \end{align} আবার, যেহেতু $\vec{v}_x$ এবং $\vec{v}_y$ একে অপরের উপর লম্ব, সেহেতু তুমি চাইলেই এখানে পিথাগোরাসের থিওরেম ব্যবহার করতে পারো। এখানে $\vec{v}$ হচ্ছে অতিভুজ, $\vec{v}_x$ লম্ব এবং $\vec{v}_y$ ভূমি। সুতরাং পিথাগোরাসের থিওরেম অনুসারে- \begin{align} |\vec{v}|&=\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2} \end{align} খেয়াল করো যে, দুইমাত্রিক কো-অর্ডিনেট সিস্টেমে ভেক্টরের উপাংশ দুইটি $v_x$ ও $v_y$ । কাজেই ভেক্টর $\vec{v}$ কে এর উপাংশের সাহায্যে লিখতে পারো এভাবে- \begin{align} \vec{v} &= \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ \end{bmatrix} \end{align} অথবা এভাবে- \begin{align} \vec{v} &= v_x\hat{e}_x+v_y\hat{e}_y \end{align} এখানে ${e}_x, {e}_y$ ও ${e}_z$ হচ্ছে বেসিস ইউনিট ভেক্টর। এবং \begin{align} \hat{e}_x &= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix} & \hat{e}_y &= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix} \end{align}

ত্রিমাত্রিক তলে ভেক্টরের উপাংশঃ

ত্রিমাত্রিক কো-অর্ডিনেটে আগের মতই $\vec{v}$ এর শীর্ষবিন্দু থেকে তিনটি তলের উপর তিনটি লম্বরেখা আঁকো।

ছবিঃ ২

তাহলে $x$ অক্ষের সমান্তরাল রেখাটি হবে $v_x$, $y$ অক্ষের সমান্তরাল $v_y$ আর $z$ অক্ষের সমান্তরাল $v_z$ উপাংশ পাবে। এবং একই পদ্ধতিতে হিসাব করে $\vec{v}$ ভেক্টরকে লিখতে পারো-

\begin{align} \vec{v} &= \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z \end{bmatrix} \end{align} অথবা এভাবে- \begin{align} \vec{v} &= v_x\hat{e}_x+v_y\hat{e}_y+v_z\hat{e}_z \end{align} ত্রিমাত্রিক তলে বেসিস ভেক্টরগুলোর মান হবে- \begin{align} \hat{e}_x &= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} & \hat{e}_y &= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} & \hat{e}_z &= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \end{align} এবং আগের মতই একটু ত্রিকোণমিতির সাহায্য নিয়ে $\vec{v}$ ভেক্টরের মান বের করতে পারো এভাবে- \begin{align} |\vec{v}|=\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2+|\vec{v}_z|^2} \end{align} ধরো উপাংশ তিনটি $x, y$ ও $z$ কো-অর্ডিনেটের সাথে যথাক্রমে $\theta_x, \theta_y$ ও $\theta_z$ কোন উৎপন্ন করে। তাহলে ত্রিকোণমিতির সূত্র থেকে পাবে- \begin{align} \cos\theta_x&=\dfrac{|\vec{v}_x|}{|v|}\\ \cos\theta_y&=\dfrac{|\vec{v}_y|}{|v|}\\ \cos\theta_z&=\dfrac{|\vec{v}_z|}{|v|} \end{align} সমীকরণ (১৪)- (১৭) ব্যবহার করে ভেক্টরের উপাংশ তিনটি অক্ষের সাথে কী কী কোণ তৈরি করেছে সেটা হিসাব করতে পারবে- \begin{align} \theta_x&=\cos^{-1}\dfrac{|\vec{v}_x|}{\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2+|\vec{v}_z|^2}}\\ \theta_y&=\cos^{-1}\dfrac{|\vec{v}_y|}{\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2+|\vec{v}_z|^2}}\\ \theta_z&=\cos^{-1}\dfrac{|\vec{v}_z|}{\sqrt{|\vec{v}_x|^2+|\vec{v}_y|^2+|\vec{v}_z|^2}} \end{align} সুতরাং একটি ভেক্টররাশির উপাংশ জানা থাকলে এই সূত্রগুলির মাধ্যমে ভেক্টরটির মান এবং দিক নির্ণয় করতে পারবে।

ভেক্টরস্পেসের ধারণাভেক্টর রাশির যোগ ও বিয়োগ