কোণের পরিমাপঃ ডিগ্রি ও রেডিয়ান

ক্যালকুলাস এবং পদার্থবিজ্ঞানে কোণ নির্ণয়ের জন্য অনেক সময় ডিগ্রি আবার অনেক সময়ে রেডিয়ান ব্যবহার করেছো। কিন্তু এই রেডিয়ানের পরিমাপ কোথা থেকে আসলো?

চিত্রঃ১

একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলা হয় (চিত্রঃ১)। আর একটি বৃত্তচাপ ওই বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেটিকে রেডিয়ান (rad) বলে (চিত্রঃ২)। এই ধারনার উপর ভিত্তি করে তুমি রেডিয়ানের এককের ($1\text{rad}$) এর সংজ্ঞা বের করে ফেলতে পারবে।

চিত্রঃ২

মনেকরো এই ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হচ্ছে $r$ এবং ওই বৃত্ত থেকে $r$ এর সমান বৃত্তচাপ কেটে নিলে। এবং এই বৃত্তচাপের দুইমাথা হতে বৃত্তের কেন্দ্র পর্যন্ত দুটি ব্যাসার্ধ আঁকলে। ব্যাসার্ধ দুটি বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করলো সেটিকেই গণিতের ভাষায় এক রেডিয়ান ($1\text{rad}$) বলা হয় (চিত্রঃ৩)।

চিত্রঃ৩

বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন এই কোণকে ($\theta$) বৃত্তের ব্যাসার্ধ ($r$) দিয়ে গুণ করলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ($s$) পাওয়া যায়। অর্থাৎ \begin{align*} s = r\theta \end{align*} মনে রাখবে এই সমীকরণটি তখনি কাজ করবে যদি কোণের মান রেডিয়ানে দেওয়া থাকে। কিন্তু কোণের মান ডিগ্রিতে দেওয়া থাকলে এই সমীকরণে বসানোর আগে সেটিকে রেডিয়ানে পরিবর্তন করে নিতে হবে।

কিন্তু ডিগ্রি থেকে রেডিয়ানে কিভাবে পরিবর্তন করবে? তোমরা জানো যে, একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ হলে সেটির পরিধির দৈর্ঘ্য $2\pi r$ হয়, তাহলে পুরো বৃত্তটির জন্য $s=2\pi r$ বসিয়ে দিলে পাচ্ছো- \begin{align*} 2\pi r &= r\theta\\ \therefore \theta &= 2\pi \end{align*}

চিত্রঃ৪

অর্থাৎ রেডিয়ানে কোন বিন্দু একটা বৃত্ত সম্পূর্ণ ঘুড়ে আসলে সেটি কেন্দ্রে $2\pi \text{rad}$ কোণ উৎপন্ন করে (চিত্রঃ৪) । কিন্তু ডিগ্রিতে আবার একটি পূর্ণ বৃত্তের কোণের মান $360^\circ$ । তাহলে দাড়াচ্ছে- \begin{align*} 2\pi \text{rad} &= 360^\circ\\ \Rightarrow \pi \text{rad} &= 180^\circ \end{align*} এর সাহায্যে তুমি ডিগ্রি থেকে রেডিয়ানে একটি কোণের মান হিসাব করতে পারবে। যেমনঃ \begin{align*} \text{i) }90^\circ\times\dfrac{\pi}{180\circ} &= \dfrac{\pi}{2} \text{rad}; \\ \text{ii) } 60^\circ\times\dfrac{\pi}{180\circ} &= \dfrac{\pi}{3} \text{rad}\dots \text{ etc.} \end{align*} একইভাবে একটি কোণের মান রেডিয়ানে দেওয়া থাকলে সেটিকে ডিগ্রিতে মান কত হবে সেটিও হিসাব করতে পারবে। যেমনঃ \begin{align*} \text{i) } \dfrac{\pi}{6} \text{rad} \times \dfrac{180^\circ}{\pi} &= 30^\circ;\\ \text{ii) }\dfrac{5\pi}{4} \text{rad} \times \dfrac{180^\circ}{\pi} &= 225^\circ\dots \text{etc.} \end{align*} হয়তো তোমাদের মনে প্রশ্ন এসেছে কোণ পরিমাপের জন্য এতগুলো এককের কি দরকার রে বাবা! ক্যালকুলাসে যখন ত্রিকোণমিতির ফাংশনকে ডিফারেন্সিয়েশন বা ইন্টিগ্রেশন করতে যাও, তখন এই রেডিয়ানে কোণ হিসাব করলে সবচেয়ে সহজ হয়। পরবর্তীতে যখন ক্যালকুলাস নিয়ে আলোচনা করবো তখন বিষয়টা আরও পরিষ্কারভাবে বুঝতে পারবে।

পরের পরিচ্ছেদ